共动距离与宇宙学红移

概述#

遥远星系 GN-z11 的红移 $z \approx 10.6$（JWST 2023 确认值）。问"它离我们多远"，答案却不止一个：光从它走到我们花了约 134 亿年（光行距离），但发出这束光的物质如今已被膨胀带到约 320 亿光年之外（共动距离），而当年它真正发光时，离我们只有约 28 亿光年（角直径距离）。同一个天体，三个相差十倍的"距离"，没有一个是错的。

问题出在：宇宙空间本身在膨胀，"距离"不再是一个单一明确的概念。同一对天体之间存在多种合理定义的距离——共动距离、角直径距离、光度距离——它们随时间演化，在不同物理情境下各有适用。这不是单纯的数学定义问题，而是涉及宇宙膨胀的本质：空间本身在拉伸，不同于通常意义上的"物体在空间中运动"。理解这套距离概念以及宇宙学红移的物理机制，是读懂所有宇宙学观测的基础。

弗里德曼-罗伯逊-沃克（FRW）度规#

均匀各向同性宇宙的时空度规为：

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2 d\Omega^2\right]$$

其中：

• $a(t)$ 是标度因子（今天 $a_0 = 1$，过去 $a < 1$，未来 $a > 1$）
• $r$ 是共动坐标（随宇宙膨胀而固定）
• $k = 0, +1, -1$ 分别对应平坦、正曲率、负曲率空间
• $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2$ 是球面元

共动距离#

定义#

共动距离（comoving distance）$\chi$ 是两点之间在今天时刻（$a = 1$）的坐标距离，它与宇宙膨胀"一起运动"——如果两个星系只受哈勃流（无本动速度），则它们之间的共动距离恒定不变（宇宙在膨胀，但共动坐标不变）。

对于在时刻 $t_{em}$（对应红移 $z$）发射、今天（$t_0$）接收的光子，其共动距离为：

$$\chi(z) = c \int_0^z \frac{dz'}{H(z')}$$

其中 $H(z) = H_0 \sqrt{\Omega_m(1+z)^3 + \Omega_k(1+z)^2 + \Omega_\Lambda}$ 是红移 $z$ 处的哈勃参数（假设平坦宇宙时 $\Omega_k = 0$）。

数值示例（Planck 2018 $\Lambda$CDM，$H_0 = 67.4$ km/s/Mpc）#

CMB 最后散射面的共动距离约为 13900 Mpc（约 453 亿光年），这是宇宙的"视觉边界"。

宇宙学红移#

物理机制#

光子从红移 $z$ 处发射到今天被接收，波长发生红移：

$$\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}} = 1 + z = \frac{a_0}{a(t_{em})} = \frac{1}{a(t_{em})}$$

宇宙学红移不是多普勒效应（尽管在小红移处可以近似用多普勒公式），而是光子在传播过程中，由于宇宙空间的膨胀，波长随宇宙标度因子等比拉伸。

这一区别有深刻含义：当我们说"某星系红移 $z = 1$"，我们的意思是在光子从该星系发出时，宇宙的尺度仅为今天的 $1/(1+1) = 0.5$，而不是该星系"正在以某个速度逃离我们"。

多普勒红移 vs 宇宙学红移#

在小红移（$z \ll 1$）时，哈勃定律 $cz \approx v = H_0 d$ 是宇宙学红移的线性近似，此时多普勒和宇宙学解释数值相近。

视界的存在#

由于宇宙学红移的累积效应，存在两个关键视界：

哈勃视界（Hubble sphere）：$d_H = c/H \approx 14.3$ Gpc（今天），其内部星系的退行速度低于光速。注意：超出哈勃视界的星系退行速度超过光速——这不违反相对论，因为是空间本身膨胀，而非物体在空间中运动。

粒子视界（Particle horizon）：宇宙诞生以来光能传播的最大共动距离，即

$$\chi_{ph} = c \int_0^{t_0} \frac{dt'}{a(t')} = c \int_0^\infty \frac{dz}{H(z)} \approx 46.5 \text{ Gly（亿光年）}$$

（约 14.27 Gpc 共动距离）。这是可观测宇宙的边界——粒子视界之外的事件对我们没有因果影响。

事件视界（Event horizon）：在加速膨胀的宇宙中，超过一定距离的星系将永远无法与我们建立因果联系：

$$\chi_{eh} = c \int_{t_0}^\infty \frac{dt'}{a(t')} \approx 16.7 \text{ Gly（亿光年）}$$

（约 5.1 Gpc 共动距离，假设宇宙学常数不变）。今天距我们约 16.7 亿光年外的星系，它现在发出的光永远无法到达我们。

其他重要距离定义#

角直径距离 $D_A$#

若天体的物理尺寸为 $d$，张角为 $\theta$，则角直径距离定义为：

$$D_A = \frac{d}{\theta} = \frac{\chi}{1+z}$$

反直觉的特性：$D_A$ 在 $z \approx 1.6$ 处达到最大值（约 1.8 Gpc），之后随红移减小。这意味着极高红移的天体比中间红移的天体张角更大（如果物理尺寸相同）。这是因为它们在非常"年轻"的宇宙中占据了较大的视角。

角直径距离是 CMB 声学峰、BAO 标准尺测量的基础。

光度距离 $D_L$#

若天体的本征光度为 $L$，观测流量为 $F$，则光度距离定义为：

$$D_L = \sqrt{\frac{L}{4\pi F}} = (1+z) \chi = (1+z)^2 D_A$$

两个 $(1+z)$ 因子的来源：

1. 第一个 $(1+z)$：光子能量被宇宙膨胀红移降低
2. 第二个 $(1+z)$：单位时间到达的光子数因膨胀而减少

光度距离是超新星标准烛光测量的基础，距离模数定义为 $\mu = 5\log_{10}(D_L / 10 \text{ pc})$。

距离度量关系#

$$D_L = (1+z) \chi = (1+z)^2 D_A$$

这个关系（Etherington 关系）是一个精确的几何结论，不依赖于具体的宇宙学模型，只要光子测地线是唯一的且没有多路径效应。违反 Etherington 关系将暗示新物理（如光子与轴子的转化、额外维度效应）。

哈勃常数的测量与宇宙学距离#

距离测量链（宇宙距离阶梯）对哈勃常数 $H_0$ 极为敏感，因为：

$$D_L(z) = \frac{c}{H_0} \int_0^z \frac{(1+z') \, dz'}{E(z')} \cdot (1+z)$$

其中 $E(z) = H(z)/H_0$。改变 $H_0$ 会等比例改变所有宇宙学距离，这是"哈勃张力"（Planck 给出 $H_0 = 67.4$ km/s/Mpc，SH0ES 给出 $H_0 = 73.0$ km/s/Mpc）影响如此深远的原因——它不仅改变单个距离测量，而是影响整个宇宙距离标尺。

跨域连接#

• 宇宙学原理与可观测宇宙：三种视界必须分开：粒子视界划定"已经看得到"，事件视界划定"永远看不到"，哈勃半径只标出退行速度等于光速的位置。三者在加速膨胀的宇宙里互不重合，混用它们正是"超光速就永远失联"这一误解的根源。
• 多普勒效应：判别式很干净——多普勒红移由相对速度的单一函数给出，宇宙学红移只由发射与接收时刻的标度因子之比给出。小红移处两者数值重合，所以只有高红移才能分辨；把远处星系的红移读成"它正以某速度逃离"在概念上已经错了。
• 微分几何：光度距离与角直径距离之间只差两个红移因子，这是纯几何结论，不依赖宇宙的成分。正因为它不依赖模型，违反它才是硬信号：要么光子不沿唯一测地线传播，要么光子数不守恒。
• 光谱学：定红移要求整条谱线族按同一因子位移，而不是单条线移动。这条要求把化学环境、压强或引力造成的位移排除在外，也解释了为什么高红移天体必须先认出莱曼系或金属线的图样，才谈得上给出红移。
• 地图投影：同一对天体有多种合理距离，与地图上没有唯一正确的距离是同一类问题：在弯曲或演化的几何上，保角、保面积、保距离不能同时满足。选哪种距离取决于要测什么——成团用共动距离，标准尺用角直径距离，标准烛光用光度距离。

为什么这很重要#

距离概念是宇宙学的语言。没有清晰的距离定义，宇宙学中的任何定量陈述都缺乏基础：CMB 来自多远？宇宙年龄多大？哈勃常数是什么意思？可观测宇宙有多大？这些问题的答案都依赖于对 FRW 度规和弗里德曼方程的正确理解。宇宙学距离还揭示了膨胀宇宙的深刻特性：可观测宇宙的边界不是不变的，而是随时间推移不断向外扩展（粒子视界）的同时，未来能联系的宇宙却在收缩（事件视界）。

参考文献#

• Hogg, D.W. (1999). Distance measures in cosmology. arXiv:astro-ph/9905116. （该文是距离定义的权威参考）
• Peacock, J.A. (1999). Cosmological Physics. Cambridge University Press. 第 3 章.
• Peebles, P.J.E. (1993). Principles of Physical Cosmology. Princeton University Press.
• Davis, T.M. & Lineweaver, C.H. (2004). Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe. Publications of the Astronomical Society of Australia, 21, 97.
• Planck Collaboration (2018). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. A&A, 641, A6.