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宇宙学基础约 18 分钟阅读

复合时期与最后散射面

复合时期最后散射面CMB脱耦氢复合重子声学振荡

概述

当你用射电望远镜对准天空任意方向，最远能"看"到的那一层，是一道距今约 138 亿年、温度约 3000 K 的炽热雾墙——在它之前，宇宙对光不透明，光寸步难行。这道墙就是宇宙复合留下的最后散射面。

宇宙诞生约 38 万年后，温度冷却至约 3000 K，自由电子与质子结合形成中性氢原子——这一过程称为宇宙复合（Recombination）。复合让光子失去了散射靶，得以自由传播，形成宇宙历史上的最后散射面（Last Scattering Surface）。这道"墙"是我们用光能够直接看到的宇宙最远边界，它遗留下来的辐射就是今天的宇宙微波背景（CMB）——Planck 卫星测得复合发生在红移 z∗=1089.80±0.21z_* = 1089.80 \pm 0.21、宇宙年龄 377700±3200377700 \pm 3200 年时。

"复合"这个名词在物理上略有误导——电子和质子在此之前从未结合过，因此"首次结合"更为准确，但"复合"已成为约定俗成的术语。

三个词常被混用，其实指的不是同一件事。复合说的是电子被质子俘获、电离度下降。光子脱耦说的是汤姆逊散射变得足够稀，光子的平均自由程涨到宇宙学尺度。最后散射说的是一颗典型光子经历的最后一次散射，对应可见度函数的峰值。

三者都落在红移约一千一百这个量级，顺序却不能倒过来讲。先有中性氢变多，才有散射靶变少。散射靶变少之后，最后一次碰撞才被冻结在那一层壳上。

更早的宇宙并不是没有“光”。太初核合成在最初几十分钟里已经把氢和氦的核配比锁定。那以后直到复合，宇宙仍是带电等离子体，光子被电子反复撞偏，走不了远路。

复合之后进入宇宙黑暗时代：天空第一次变得对可见光透明，却还没有恒星把这片透明点亮。再往后，第一代光源才把氢重新电离，那是宇宙再电离的故事。最后散射面夹在这两段历史中间，是用光子能直接拍照的最远一层。

物理机制

萨哈方程与电离态

在复合之前，宇宙是一团完全电离的等离子体，光子通过汤姆逊散射与自由电子频繁相互作用，平均自由程极短，宇宙不透明。电子数密度由萨哈方程（Saha equation）描述：

nenpnH=(mekBT2πℏ2)3/2exp⁡(−EIkBT)\frac{n_e n_p}{n_H} = \left(\frac{m_e k_B T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{E_I}{k_B T}\right)

其中 EI=13.6E_I = 13.6 eV 是氢的电离能，nen_e、npn_p、nHn_H 分别是电子、质子、中性氢的数密度。按照萨哈方程，当温度降到 T≈3000T \approx 3000 K（kBT≈0.26k_B T \approx 0.26 eV，远低于 EI=13.6E_I = 13.6 eV）时，复合才快速发生。原因是光子数远多于重子数（比值约 10910^9：1），即使在低温下仍有足够多的高能光子维持电离，直到温度显著低于电离能时，中性氢才得以稳定存在。

常见的错觉是：温度一降到与电离能相当，氢就该中性化。萨哈方程里真正起决定作用的，是指数上的 EI/kBTE_I / k_B T 与光子对重子的巨大比数相乘。光子数目比重子多出约十亿倍，玻尔兹曼尾部里仍有足够多的高能光子去打掉刚复合的原子。

不是温度降到 13.6 电子伏就复合，而是温度必须低到高能光子的尾巴也稀到打不赢俘获。 三千开尔文这一档，正是这条尾巴终于输给俘获的地方。文中的 kBT≈0.26k_B T \approx 0.26 eV 已经把差距写明。

萨哈方程假定电离平衡随时跟得上温度下降。复合末期这个假定失效。宇宙膨胀的时标变得与反应时标相当，代数平衡式会给出过快的中性化。真正的电离度必须由速率方程往前积分，这也是皮布尔斯 1968 年那篇论文要做的事。

复合的时间历程

复合并非瞬间完成，而是延续约几万年。关键参数是电子的汤姆逊散射光深：

τ(z)=∫z0neσTc dz′H(z′)(1+z′)\tau(z) = \int_z^0 n_e \sigma_T \frac{c \, dz'}{H(z')(1+z')}

其中 σT=6.65×10−29\sigma_T = 6.65 \times 10^{-29} m² 是汤姆逊散射截面，$H(z)$ 是红移 $z$ 处的哈勃参数。复合过程中关键的红移值：

  • z≈1100z \approx 1100：电子数密度快速下降，可见度函数达到峰值（"最后散射面"）
  • z≈900z \approx 900：宇宙已大体透明，光子光深 τ<1\tau < 1
  • z≈200z \approx 200：复合基本完成，剩余电离度约 10−410^{-4}

氢原子落到基态，并不只是电子和质子一碰就完。直接俘获到 1s 会放出莱曼连续谱光子，这个光子马上又能电离另一个原子，等于白忙。更麻烦的是莱曼α：原子经 2p 落到基态，放出的莱曼α光子在中性氢里被反复吸收再发射，把刚复合的原子重新顶回激发态。

皮布尔斯指出，真正的漏气口是氢原子 2s 态的双光子衰变。这条通道慢，却不会制造一个立刻被再吸收的莱曼α光子。复合因此被拖成一段持续几万年的过程，而不是萨哈曲线上的一道陡坎。

可见度函数把“最后一次散射发生在哪一层”写成概率分布。它在红移约一千一百附近起峰，宽度由电子数密度下降的快慢决定。峰不是墙。相当一部分光子的最后一次碰撞略早或略晚，所以最后散射面有厚度。

厚度会抹平比这一层更小的角尺度涨落，精密宇宙学必须把它算进去。西格、萨塞洛夫与斯科特 2000 年的复合计算，把多能级氢、氦和这些禁戒通道一并装进速率网。后来的 CMB 参数估计，用的就是这类不再依赖萨哈平衡的求解。

最后散射面

最后散射面并非真正的"面"，而是有一定厚度的层状区域，对应红移宽度约 Δz≈80\Delta z \approx 80（Planck 2018）。光子在这个区域内经历最后一次散射，然后自由传播至今。这道"面"在不同方向的距离略有不同（约 0.1%0.1\% 量级），对应 CMB 中可观测的各向异性。最后散射面到达地球的共动距离约为 χLS≈14000\chi_{LS} \approx 14000 Mpc（约 456 亿光年共动距离），而角直径距离 DA=χLS/(1+z∗)≈12.9D_A = \chi_{LS}/(1+z_*) \approx 12.9 Mpc——由于 1+z∗≈10901+z_* \approx 1090 的巨大压缩因子，这个"看上去的距离"出奇地小，是宇宙学中一个著名的反直觉数值。

从我们这里看，它是一个包住观测者的球面。每个方向的视线都在同一段宇宙时刻停住，所以全天的微波背景是同一层等离子体的快照。快照不是无限薄。红移宽度约八十，意味着这层壳有可观的径向厚度。

方向与方向之间还有约千分之一量级的距离差，那是密度与速度留下的印记，不是测量噪声。角直径距离被 1+z∗1+z_* 压到只有约 12.9 兆秒差距，所以最后散射面上本来很大的声视界，在天上只张开约一度。第一声学峰落在这个角尺度附近，不是巧合。

光在穿过这层之后，原则上还可以再被散射。再电离后的电子会提供二次汤姆逊光学深度，把部分 CMB 光子再撞一次，并产生大尺度偏振。那是复合之后很久的事。就“我们用光能直接看到的最远一层”而言，主角仍是红移约一千一百的这一壳。

CMB 的形成

黑体辐射谱

在脱耦之前，光子-电子系统处于热平衡，光子的能谱是精确的黑体（普朗克）分布。脱耦后，光子在膨胀的宇宙中传播，能谱保持黑体形状，但温度随宇宙标度因子 $a$ 成反比降低：

TCMB(z)=T0(1+z)T_{CMB}(z) = T_0 (1+z)

今天观测到的 CMB 温度 T0=2.72548±0.00057T_0 = 2.72548 \pm 0.00057 K（Fixsen 2009，COBE/FIRAS），对应复合时期的温度约 3000 K，红移 zrec≈1100z_{rec} \approx 1100。

形状得以保持，是因为膨胀对每个模式做的是绝热拉伸。波长随标度因子成正比变长，温度按同一因子下降，光子的占据数并不因此改写。只要途中没有成批注入或抽走能量，普朗克函数仍是普朗克函数，只是 $T$ 在变。

FIRAS 看到的，正是这条被完整保存下来的曲线。若早期有能量注入，谱上会出现化学势型或康普顿 y 型畸变。Fixsen 2009 年的分析在该仪器精度内看不到这类偏离，所以复合前后的光子气体非常接近理想黑体。

把今天的 T0T_0 乘上 1+zrec≈11001+z_{\mathrm{rec}} \approx 1100，得到的就是文中反复使用的约 3000 K。这个回推不是另造一个温度，而是黑体在膨胀下的同一条轨迹。微波背景因此不是恒星光被红移的残渣，而是早期等离子体自己的热辐射。奥伯斯想象的那堵可见光墙并不存在；存在的是这堵已经被拉到微波的墙。

温度各向异性的起源

CMB 温度的微小涨落（ΔT/T∼10−5\Delta T / T \sim 10^{-5}）是早期宇宙密度涨落的快照：

  1. 原初量子涨落：暴胀时期产生的密度涨落种子
  2. 萨哈-沃尔夫效应（Sachs-Wolfe effect）：光子从密度涨落的引力势阱中爬出时产生的红移/蓝移
  3. 多普勒效应：最后散射面上重子速度场的贡献
  4. 声学振荡：光子-重子流体中声波的痕迹，形成 CMB 功率谱中的"声学峰"

第一声学峰对应的角尺度约 $1°$，对应最后散射面上的声视界大小，是确定宇宙平坦性的关键观测量。

这些机制叠在同一张天空图上，不能互相替代。大尺度上，光子主要是从势阱里爬出来，萨哈-沃尔夫给出最宽的温度斑。中等尺度上，声腔里的压缩与稀疏把温度调成一串峰。

峰的位置量的是声视界在最后散射面上张开的角度；峰的高度还记得重子加载了多少惯性。多普勒项来自流体的体速度，相位与密度项错开。原初谱提供总的种子，却不负责把种子翻译成今天天上的斑纹。翻译发生在这一层等离子体里。

重子声学振荡的种子

在复合之前，光子与重子紧密耦合，形成"光子-重子流体"。密度涨落驱动这一流体中的声波传播，声速约为：

cs=c3(1+R)c_s = \frac{c}{\sqrt{3(1 + R)}}

其中 R=3ρb/(4ργ)R = 3\rho_b / (4\rho_\gamma) 是重子-光子能量密度比。复合时，声波传播的最大距离（声视界，sound horizon）约为：

rs≈147 Mpcr_s \approx 147 \text{ Mpc}

（Planck 2018 给出 rs=147.09±0.26r_s = 147.09 \pm 0.26 Mpc）。复合时声波"冻结"，这一特征尺度被印刻在物质分布中，成为今天观测到的重子声学振荡（BAO）——一把跨越宇宙时间的标准尺。

冻结的意思很具体。散射靶一消失，光子不再把压力传给重子，声波失去恢复力，振荡停在当时的相位上。声视界这块尺被印在两处：一处是 CMB 的声学峰，一处是后来星系分布里的 BAO 峰。

同一把尺、两个红移，是把早期几何接到晚期膨胀史上的关键接口。复合因此不只是“雾散了”的瞬间，也是这把尺被钉死的物理瞬间。

氦复合

严格来说，复合并非只有氢的复合。由于氦的电离能高于氢，氦会更早分两步复合：双电离氦（He III，对应 EI=54.4E_I = 54.4 eV）在 z≈6000z \approx 6000（T≈16000T \approx 16000 K）时先捕获电子变为单电离氦（He II）；随后单电离氦（He II，对应中性氦电离能 EI=24.6E_I = 24.6 eV）在 z≈2500z \approx 2500 时再捕获一个电子变为中性氦（He I）。注意这两步是同一种氦原子（主要是氦-4）的两级电离态，而非不同的氦同位素。由于氦含量约仅占重子的 25%，氦复合对光子的散射影响小于氢复合，且发生在更早，对 CMB 的直接影响有限（但会在 CMB 功率谱的精细结构上留下可测量的印记）。

顺序完全由电离能排定。氦先中性化，释放出的电子数目下降一截，氢复合开始时面对的散射靶已经少了一些。影响是次要的，却不是零。

氢的电离能更低，所以它拖到红移约一千一百才大规模中性化，并决定可见度函数的主峰。氦的两步只是把时间表往更早的高温里延伸，不能代替氢这一幕。

观测证据

Planck 卫星最终数据（2018）给出的复合相关参数：

参数数值
复合红移 z∗z_*1089.80±0.211089.80 \pm 0.21
复合时宇宙年龄377700±3200377700 \pm 3200 年
声视界角尺度 θs\theta_s0.59627°±0.00043°0.59627° \pm 0.00043°
声视界共动半径 rsr_s147.09±0.26147.09 \pm 0.26 Mpc

CMB 第一声学峰位于多极矩 ℓ≈220\ell \approx 220，对应角尺度约 $0.8°$，与声视界尺度在最后散射面的张角高度一致，证实了宇宙的空间平坦性（Ωk=0.0007±0.0019\Omega_k = 0.0007 \pm 0.0019，Planck 2018）。

这些数字应当连着读。z∗z_* 标定可见度函数的峰位，年龄把峰位翻译成大爆炸之后过了多久。θs\theta_s 是声视界在天上的张角，rsr_s 是同一把尺的共动长度。

第一峰的多极矩与 θs\theta_s 配套，不是另一套独立数据。表格里的不确定度来自 Planck 2018 的参数估计。

跨域连接

  • 宇宙黑暗时代：复合并没有把电子清干净，残余电离度约十万分之一，靠这批电子气体才与光子场维持微弱热接触。电离度的这条尾巴决定了气体何时"脱钩"、开始比辐射冷得更快——而正是那个温差让后来的 21 厘米吸收成为可能。
  • 化学平衡：萨哈方程就是电离平衡的质量作用定律。要点在浓度比：光子数比重子数多约十亿倍，平衡因此被推到能量远低于 13.6 eV 才偏向中性氢一侧。"温度降到电离能就复合"是错的，差了一个大得离谱的因子。
  • 原子结构：氢的电离能是唯一的输入标尺，可涉及的能级远不止一级——精确计算要追踪数百个氢能级的布居。氦因电离能更高而分两步、更早复合。顺序完全由电离能高低排定，与丰度无关；而丰度决定影响的大小，所以只占重子四分之一的氦留下的印记远弱于氢。
  • 等离子体物理：不透明来自自由电子的汤姆逊散射，光深正比于电子数密度沿视线的积分。因此"最后散射面"不是一堵墙而是一层：可见度函数有约八十的红移宽度，这层厚度直接抹平了小角尺度的涨落。
  • 数值方法：复合末期反应速率跟不上膨胀，平衡近似失效，必须解耦合的速率方程组才能定出复合红移。这是一条通则：只要"反应快慢"与"系统变化快慢"可比，代数平衡式就会给错答案。而偏差恰好落在精密宇宙学关心的量级上，所以专用求解程序是标配。

为什么这很重要

最后散射面是宇宙的"视觉边界"——我们用光看到的宇宙最深处不是无限远的，而是这道距我们约 138 亿光年（共动 14000 Mpc）的光子最后一次散射的位置。在此之外，光子被宇宙的等离子体"墙"阻挡，我们只能通过引力波或中微子探索更早的宇宙。CMB 携带了大爆炸后 38 万年时整个可见宇宙的信息快照，是人类理解宇宙起源的最重要的观测窗口。

边界的意思要说精确。不是空间在那里结束，而是带电雾在那里散开。雾散之前，光没有自由程；雾散之后，这批光子一直走到今天的天线里。

要看见更早的宇宙，必须换信使：中微子在弱脱耦后就自由了，引力波更可以来自暴胀本身。复合把电磁窗口的起点钉在红移约一千一百。理解这一钉，才能理解为什么 CMB 是热大爆炸最硬的一张照片，以及为什么它仍然不是最早的一张。

参考文献

  • Planck Collaboration (2018). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. A&A, 641, A6.
  • Peebles, P.J.E. (1968). Recombination of the Primeval Plasma. Astrophysical Journal, 153, 1.
  • Chluba, J. & Thomas, R.M. (2011). Towards a complete treatment of the cosmological recombination problem. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 412, 748.
  • Fixsen, D.J. (2009). The Temperature of the Cosmic Microwave Background. Astrophysical Journal, 707, 916.
  • Sunyaev, R.A. & Zeldovich, Ya.B. (1970). Small-scale fluctuations of relic radiation. Astrophysics and Space Science, 7, 3.
  • Seager, S., Sasselov, D.D. & Scott, D. (2000). How exactly did the Universe become neutral? Astrophysical Journal Supplement Series, 128, 407–439.

正文中引用本条 · 9