卢瑟福 1911：金箔上的大角 α 怎样把正电荷挤进核

破除误解：不是核的照片，不是玻尔轨道，也不是可照做的散射手册#

第一个误解，是把本页写成“看见了原子核”，或写成化学课里那幅原子结构总览。看见的是硫化锌上的闪光。闪光标记一颗 α 打到屏上，不标记核的轮廓。卢瑟福 1911 年引用盖革与马斯登 1909 年的数字：穿过约 $0.00004$ 厘米厚、阻止本领相当于 $1.6$ 毫米空气的金箔时，大约两万分之一的 α 被转过平均 $90°$。同一篇文章另引厚铂板：镭 C 的 α 大约八千分之一被散射回入射一侧；那是厚靶、并假定各向同性之后，从约 $90°$ 的观测推出来的分数。两句话不要并成一句“金箔上八千分之一弹回来”。总览页会从硬球讲到电子云。本页只负责大角事例逼出来的中心电荷。并成“原子结构被发现”，会把箔厚、屏、角分布一起删掉。

第二个误解，是把 1911 年的核式原子写成玻尔 1913 年的轨道讲义，或写成原子光谱已经有了项值差。卢瑟福自己写：所提议原子的稳定性此时不必考虑，因为那显然依赖于内部的精细结构与带电部分的运动。他甚至写明，主要推论不取决于中心电荷取正还是取负，只是为方便假定为正。1911 年没有定态公设，没有角动量量子化，也没有巴尔末公式。绕核的经典电荷按电动力学应当辐射并螺旋落入中心。那是后一年的麻烦。玻尔用分立轨道去补。补丁写在玻尔页。本页若把氢的项值差提前写进闪烁屏，会把双曲线轨道删掉。双曲线才是 1911 年读大角的那把尺子。尺子量的是 $1/r^{2}$ 力下的散射角，不是 $mvr=n\hbar$。

第三个误解，是把本页写成放射源制备、真空装配或“如何照做金箔散射”的操作手册，或写成油滴那套悬停计量，或写成威尔逊云室的雾滴径迹。证据对象是已经留下的闪光计数，以及 1911 年对单次散射与复合散射的比较。本页不写放射源如何制备，也不把箔、光阑、屏距写成可重复实验的步骤。α 在文中是已标定的高速带电粒子，常用镭 C，速率取 $2.09\times 10^{9}$ 厘米每秒。速率是代入 $b$ 的数，不是一份源强配方。油滴问的是电荷的粒度。本页问的是正电荷在原子里摊开还是挤在中心。两套管都出现 $e$，未知数不同：一边是 $e$ 本身，一边是 $Ne$ 与最近趋近距离。不要把悬停电压画成散射角，也不要把直方图上的整数倍画成 $1/\sin^{4}(\theta/2)$。

装置：箔、硫化锌屏、显微镜、大角闪光#

逻辑可以收成一条角分布门。α 穿过薄箔。绝大多数仍近乎原方向。转向大角的那一颗，在可转动的硫化锌屏上留下一次闪光。显微镜把闪光变成可数的事件。屏在这里是角度尺，不是一份自制说明书。它把“几乎都穿过去了”从印象变成按 $\phi$ 登记的计数。箔必须薄。卢瑟福把单次大偏转定义为与单个原子的一次遭遇；若箔厚到第二次大偏转也常见，角分布就不再是单次散射的干净预言。他举例：若一次偏转 $\phi$ 的概率是 $1/1000$，连续两次各为 $\phi$ 的概率是 $10^{-6}$，可以忽略。薄，不是为了把实验写成工艺。薄，是为了让大角事例对应一次遭遇。

未知数一开始并不是核半径的今日数值。未知数是：大角究竟来自许多小偏转的偶然堆积，还是来自一次足够硬的遭遇。J. J. 汤姆孙把原子写成许多负微粒，外加均匀铺开的等量正电。荷质比那套管见 汤姆孙 1897。单次遭遇的偏转被假定很小。穿过厚度 $t$ 后的平均偏转按 $\sqrt{m}\cdot\theta$ 累加，这就是卢瑟福所说的复合散射。复合散射能解释小角上那团晕。它很难解释直角。盖革 1910 年用闪烁法量过细束穿过已知厚度后的最可几偏转：金箔阻止本领约合 $0.76$ 厘米空气时，最可几角约 $1°40'$；一半粒子被转过的角大约 $2°$。按复合散射的概率律，再从这么小的特征角爬到 $90°$，机会极小。大角事例把“许多小步”这条路堵住了。堵住之后，才必须假定单次遭遇就能转过直角。要转过直角，中心附近的电场必须极强。极强的办法是把电荷 $Ne$ 收进远小于原子半径的区域。

最近趋近距离把“收进去”写成一个数。卢瑟福取中心电荷 $100e$，α 速率 $2.09\times 10^{9}$ 厘米每秒，正碰时停住的距离 $b$ 约为 $3.4\times 10^{-12}$ 厘米。原子半径的量级取 $10^{-8}$ 厘米。α 在折回之前已经穿到负电均匀分布可以忽略的地方。他进一步说，偏转大于约一度时，可把偏转几乎全部算在中心电荷的场上。力按平方反比，轨道是双曲线，中心是外焦点。瞄准距离 $p$ 与 $b$ 的比决定偏转角：文中的表给出 $p/b=0.5$ 时 $\phi=90°$，$p/b=0.125$ 时 $\phi=152°$。单位面积计数的公式是 $y=(ntb^{2}Q\cosec^{4}(\phi/2))/16r^{2}$。薄箔上的预言因此有四条可以分开核对：角分布跟 $1/\sin^{4}(\phi/2)$；计数与厚度成正比；与 $(Ne)^{2}$ 成正比；与速率四次方成反比。装置节要停在这里：箔给单次遭遇，屏给角度，计数给那四条。单独一句“有粒子弹回来”，仍可以停在奇闻里。奇闻不是核。核是角分布。

反事实：若正电荷摊开，直角事例不会按 1/sin⁴(θ/2) 堆积#

它测到：在该箔厚、该闪烁屏与该显微镜计数下，薄金箔能把大约两万分之一的 α 转到平均 $90°$；厚铂板上大约八千分之一被散射回入射一侧，数量级与中心电荷约 $100e$ 的单次散射相符。它测到盖革已有的小角最可几偏转，与同一中心电荷假设下的单次散射公式相容：金的 $N$ 一次算出约 $97$，另一次约 $114$。它测到——更干净的核对要等到盖革与马斯登 1913 年那篇《α 粒子大角偏转定律》——金箔上从 $15°$ 到 $150°$，校正后的闪光数为 $132000$、$27300$、$7800$、$3300$、$1435$、$477$、$211$、$69.5$、$51.9$、$43.0$、$33.1$；各角的 $N\sin^{4}(\phi/2)$ 落在大约 $28.8$ 到 $38.4$ 之间，近似为常数。两人在文中总结：该关系在 $5°$ 到 $150°$ 试过，计数从 $1$ 变到 $250000$，与理论相符。银箔的平行数列同样近似常数。常数不是核的肖像。常数是平方反比单次散射还没被角分布推翻。

它没有把 $N$ 读成后来的原子序数 $Z$。金的 $Z$ 是 $79$。1911 年的 $100e$ 来自原子量比例、最可几小角，以及厚靶大角的数量级，不是特征 X 射线那条直线。直线见莫塞莱 1913。本页若把 $Z=79$ 提前写进五月的公式，会把误差预算删掉。它也没有测定中心电荷的符号。符号在 1911 年是方便假定。正，只是为了让 α 走排斥双曲线。它没有测量玻尔轨道半径，没有测量氢的项值差，也没有测量汞蒸气里电子交出能量的电压台阶。1914 年的弗兰克–赫兹碰撞管问的是能级差如何成为电流台阶。1911 年问的是已经存在的高速 α，会不会在一次遭遇里被转到大角。大角不证明轨道分立。分立是后一步。后一步可以写在玻尔页。本页只把大角钉在屏上。

它也没有把 $b=3.4\times 10^{-12}$ 厘米写成今日核半径。那个 $b$ 依赖所取的 $N$ 与速率，给出的是正碰时动能与库仑势能打平的距离，是中心电荷集中区域的上限量级，不是后来用电子散射或同位素半径公式称出的核半径。课堂若把本实验写成“量出了原子核有多小”，会把上限说成定点。课堂若写成“汤姆孙理论已经穷尽一切散射”，又会把直角事例删掉。两边都不许删。不许删，是因为对象恰好卡在复合散射与后来核结构之间：它是一套 1909 到 1913 年的闪光计数与一条 $1/\sin^{4}(\theta/2)$，不是一部原子结构史。

深一层：1/sin⁴ 是平方反比的签名，N≈100 不是 Z#

汤姆孙的复合散射与卢瑟福的单次散射，差在未知数，不差在“有没有散射”。小角晕两边都能画。大角把两条路切开。切开的刀是概率：复合散射把大偏转当成许多小步的偶然合成，尾部按概率律掉得极快；单次散射把大偏转当成瞄得足够近的一次双曲线，尾部按 $\csc^{4}(\phi/2)$ 下降，但仍远高于复合图像所允许的值。1909 年的直角事例已经要求切开。1913 年的表把切开写成可核对的常数列。没有 1913 年，1911 年仍是一篇以已有计数为支撑的理论文，并且卢瑟福自己注明盖革已在 $30°$ 到 $150°$ 看到与理论大体相符的分布。有了 1913 年，角分布才从“大体相符”变成跨四个数量级的同一条曲线。曲线不是演示。演示会事先知道答案。发现是：大角不是噪声，角分布不是高斯尾，力在 $10^{-12}$ 厘米量级仍像平方反比。

$N$ 必须与后来的 $Z$ 分开写。卢瑟福写的是约 $100e$。约，已经迫使“正电摊在整个原子里”这一句退场：要在一次遭遇里转到直角，电荷必须更集中。集中不是 1911 年的周期表。集中是一张门：原子内部有一个比原子半径小四个数量级的强电场中心。门开了，核外电子的运动学可以另写。另写会碰到辐射崩溃。崩溃不是闪烁屏上的数。崩溃是经典电动力学借来的推论。玻尔 1913 年用定态把推论挡住，再用跃迁去对光谱项值。挡住之后的轨道表，不在本页的显微镜里。本页的门只开到散射角。散射角给的是 $Ne$ 与 $b$，不是 $e$，也不是光谱频率。把 $e$ 拆出来要另走油滴一类实验。把频率写成里德堡公式，是光谱页的事。1911 年的屏没有那些数。

平方反比在这里与万有引力同型，力的符号与载体不同。牛顿的 $1/r^{2}$ 管的是质量吸引，轨道可以是椭圆。卢瑟福的 $1/r^{2}$ 管的是电荷排斥，α 的轨道是双曲线，中心在外焦点。同型不能并成一句“原子里有一座太阳系”。太阳系图像后来被课堂借用，借用的是中心质量加平方反比，不是 1911 年测到的东西。测到的是角分布。角分布若改成别的力律，$\sin^{4}(\theta/2)$ 不会再是那条常数列。1913 年的表因此不只为“有核”作证，也为“在该最近趋近距离上，力仍像库仑定律”作证。库仑定律的宏观扭秤见库仑定律与静电场。本页把同一条力推进到 $10^{-12}$ 厘米。推进不是扭秤的重复。推进是大角闪光。闪光停在屏上。屏上没有电子云，没有中子，也没有后来的核半径表。

跨域连接#

• 原子光谱：光谱页从吸收发射、里德堡公式写到项值差与外场分裂。本对象停在 1909 到 1913 年的闪光计数，不量波长。核后来成了光谱项的舞台，但 1911 年的公式里没有频率。不要把硫化锌闪光画成巴尔末线，也不要把 $1/\sin^{4}(\theta/2)$ 写成里德堡公式。总览可以列核为线状光谱的空间背景。背景的第一张判决仍是金箔上的大角事例。
• 玻尔模型：1913 年用分立定态去挡住绕核电荷的经典辐射，并用跃迁去对氢的项值差。本页比玻尔模型早两年，读法是双曲线加平方反比，不是 $mvr=n\hbar$。不要把 $3.4\times 10^{-12}$ 厘米写成玻尔半径，也不要把直角闪光写成巴尔末线。玻尔页可以回链本对象，作为“必须先有一个极小的中心电荷”的实验前史。前史停在 1913 年的角分布表。定态表不在显微镜里。
• 库仑定律与静电场：库仑页把点电荷的力写成平方反比，并通向场线、电势与宏观扭秤。本页借用同一条力，作用点却不在实验室尺寸的带电球上，而在原子内部一次瞄准足够近的遭遇。$y\propto 1/\sin^{4}(\phi/2)$ 是双曲线散射的光学签名，不是扭秤的扭转角。不要把金箔画成库仑的扭转臂，也不要把 $N\approx 100$ 写成静电计上的电荷值。力的公式可以同宗，未知数不同：一边是宏观电荷与距离，一边是大角事例的角分布。
• 密立根油滴：油滴把 $e$ 从 $e/m$ 里拆开，未知数是电荷的粒度。卢瑟福 1911 年取 $e=4.65\times 10^{-10}$ 静电单位，去算 $Ne$ 与 $b$。本页不称 $e$。不要把悬停电压画成散射角，也不要把油珠半径写成最近趋近距离。一边是空气中几乎静止的油雾。一边是箔里一闪而过的 α。两套管都出现 $e$，只有油滴把 $e$ 当成答案。
• 弗兰克–赫兹：1914 年的汞管把收集极电流写成大约每 $4.9$ 伏跌一截，未知数是电子与原子交换能量的粒度。本对象的未知数是正电荷在空间里摊开还是挤在中心。不要把 I–V 台阶画成 $1/\sin^{4}(\theta/2)$，也不要把加速栅画成金箔。一边是慢电子交出一份激发能。一边是快 α 被转到大角。能量量子与核式几何不要并成一句“原子被发现”。

参考文献#

1. Geiger, H., and E. Marsden. “On a Diffuse Reflection of the α-Particles.” Proceedings of the Royal Society A 82 (1909): 495–500.
2. Rutherford, E. “The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom.” Philosophical Magazine 21 (1911): 669–688.
3. Geiger, H. “The Scattering of the α-Particles by Matter.” Proceedings of the Royal Society A 83 (1910): 492–504.
4. Geiger, H., and E. Marsden. “The Laws of Deflexion of α Particles through Large Angles.” Philosophical Magazine 25 (1913): 604–623.
5. Thomson, J. J. “On the Scattering of Rapidly Moving Electrified Particles.” Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 15 (1910): 465–471.

延伸阅读#

• 与 原子光谱、玻尔模型 对读：1911 年的角分布如何先逼出中心电荷，再被 1913 年的定态改写成光谱项，而不并成一句“金箔证明了玻尔轨道”。
• 与 密立根油滴、弗兰克–赫兹 对读：电荷粒度、能级粒度、核式几何，三套管如何分开，而不并成一句“原子结构被称出来”。
• Heilbron, J. L. “The Scattering of α and β Particles and Rutherford’s Atom.” Archive for History of Exact Sciences 4 (1968): 247–307. 用来核对 1909 到 1913 年的计数与公式，不是操作手册。