牛顿 vs 莱布尼茨：微积分的发明权

对话背景#

微积分的发明权之争不是一场对坐问答。

艾萨克·牛顿（Isaac Newton, 1642–1727）在 1665–1666 年瘟疫期间于伍尔索普发展了流数法，1669 年写成《用无穷多项方程的分析》（De analysi），经巴罗传到伦敦的约翰·科林斯手里，长期以手稿流通。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716）在巴黎时期（约 1673–1676）独立发展了微分法，1684 年 10 月在莱比锡《学术纪事》（Acta Eruditorum）发表《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》（Nova Methodus），这是微积分第一次公开印刷。

牛顿 1687 年的《自然哲学的数学原理》用几何语言写运动与引力，流数记号几乎不露面；系统说明要等到 1704 年《光学》附录《曲线求积术》。

两人从未在同一间屋子里对质。下面的对谈把两条文献线索放到一张桌上：一边是手稿年代，一边是印刷年代；一边是流数与点记号，一边是微分与 d、∫。

第一幕：两条独立的路径#

牛顿：莱布尼茨先生，我在 1665 到 1666 年就把变量看成流量，把变化率看成流数。点记号 ẋ 表示 x 的流数。1666 年 10 月的那份手稿已经在做切线和曲率。

莱布尼茨：牛顿先生，我承认你的手稿早。我的笔记本里，微分法的清楚写法大约在 1675 年。我把 dx、dy 当作无穷小增量，把它们的比当作切线的斜率。

牛顿：早就是先。巴罗 1669 年把我的《分析》交给科林斯。伦敦圈子里的人知道我能用无穷级数做求积。

莱布尼茨：知道你会求积，不等于看见了流数法的算法。我 1673 年第一次到伦敦，带去的是计算器和一些数论想法，不是来抄你的点记号。

牛顿：1676 年你第二次过伦敦。科林斯把我的手稿给过你看。同年 6 月我经奥尔登堡给你写了《前信》，10 月又写了《后信》。

莱布尼茨：《前信》里你讲的是二项式级数，不是流数术的工作步骤。《后信》把关键句藏进字谜。字谜解开是「给定含流量的方程，求流数，反之亦然」。那句话不能教人计算。

牛顿：它能证明我当时已经有方法。你 1677 年 6 月回信才把你的差分写清楚。时间顺序对你不利。

莱布尼茨：顺序对你有利的是私藏，对我有利的是公开。1684 年我把运算法则印出来：和、积、商、幂，六页纸，没有长篇证明。1686 年同刊再发，积分号进入印刷。欧洲大陆的人是从印刷品学会微积分的，不是从剑桥的抽屉里。

牛顿：1671 年我还写过《流数法与无穷级数》，比《分析》更完整。它同样没有付印。1736 年别人拿去出版时，你我都不在了。我不是没有方法，我是不把方法交给尚未准备好的读者。

第二幕：记号之争#

莱布尼茨：让我们谈记号。dy/dx 把自变量和因变量同时写在纸上。∫ 是拉长的 S，提醒这是求和。链式法则在这种写法里几乎是自动的。

牛顿：记号是外衣。思想是速度、加速度、力。流量在时间中流动，流数是瞬时速度。物理量先在，符号后到。

莱布尼茨：你把微积分绑在运动上。可是切一条代数曲线，并不需要有一辆马车在跑。我的 d 可以作用在任何可以写下来的量上。

牛顿：离开运动，你的 dx 是什么？它不是零，否则不能做分母；它也不是有限量，否则 dy/dx 只是普通比值。贝克莱后来骂它是「消失量的鬼魂」。这个骂名不是凭空来的。

莱布尼茨：无穷小是工作用的量。工程师用它，几何学家用它，结果对。数学先发现能用的规则，再补逻辑的地板。

牛顿：我后来改用最初比和最终比。让增量趋于消失，看两个增量的比所趋近的那个比。这已经是极限的想法，只是我没用这个词。

莱布尼茨：你把楼梯撤掉，只留下楼顶。我把楼梯画在纸上，让人一步一步走。伯努利兄弟、洛必达 1696 年的《无穷小分析》，走的都是我这条楼梯。

牛顿：洛必达的书证明你的记号好传播。好传播不等于先发明。沃利斯 1693 年的《代数》才把我的流数第一次印给公众看。那已经晚了。晚，是因为我选择几何来写《原理》，不是因为我没有分析。

莱布尼茨：不好传播的发明，在共和国里等于还没发明。手稿不是公共知识。

第三幕：优先权之争#

牛顿：优先权不是名声游戏。它问的是：思想从哪里来。1699 年法蒂奥已经公开说，你可能从英国几何学家那里借过东西。1710 年基尔在《哲学汇刊》里写得更硬：你看到过我的方法，再换一套记号发表。

莱布尼茨：法蒂奥是你圈子里的人。基尔也是。1705 年《学术纪事》上那篇评你《曲线求积术》的匿名文字，被读成贬低你的优先。基尔抓住评语做文章。指控要从文献里读出来，不能从门生的忠诚里读出来。

牛顿：文献在。1676 年你在科林斯处读过《分析》。科林斯惯于把牛顿和格雷戈里的结果抄给能算的人。委员会后来说，一个聪明人从那些信件里足以抽出原则。

莱布尼茨：足以抽出，是事后的话。当时那些信讲级数多，讲流数少。我自己的特征三角形、差分与求和，是在巴黎跟惠更斯学几何、自己改帕斯卡的时候长出来的。两条根可以长成相似的树。

牛顿：相似到这种程度，独立就显得太巧。

莱布尼茨：光学里折射定律也被人独立写过不止一次。巧，在数学里并不罕见。罕见的是把巧说成偷。

牛顿：我没有在 1676 年的信里把算法摊开，正因为我知道通信会被传抄。字谜是那个时代的锁。你不能因为锁还在，就说屋里是空的。

莱布尼茨：锁在你这边。钥匙在几十年后的《通讯》里才被配出来。读者在 1684 年能打开的，是我那六页。

第四幕：皇家学会的调查#

牛顿：1711 年你写信给斯隆，要学会约束基尔。学会成立委员会，查旧信。1712 年 4 月 24 日宣读报告，随后印成《通讯》（Commercium Epistolicum D. Johannis Collins et aliorum de Analysi promota）。结论是：我是第一发明人；基尔没有冤枉你。

莱布尼茨：你当时是学会主席。委员会几乎全是英国人，且多半是你的朋友。没有人写信来问我要我的纸。这不是仲裁，是自己审自己。

牛顿：报告依据的是科林斯档案、我给奥尔登堡的信、以及你自己的行程。它说微分法与流数法是同一方法，不同记号。问题因此只剩一个：谁先找到。

莱布尼茨：把两种算法说成「同一个」，是为了让「谁先」变成唯一问题。我的 d 和你的点，运算习惯不一样，能处理的式子也不完全一样。先把它们钉成一件赃物，再宣布赃物原属剑桥。

牛顿：1713 年 1 月印本发出去。欧洲人手一份。事实不怕散发。

莱布尼茨：我 1714 年秋天才见到全书。匿名报告的底稿是你自己写的——后来的人从剑桥手稿里对得出来。主席代委员会起草判决，再以学会名义免费散发。这叫文献，也叫权术。委员会甚至把 1672 年你给科林斯谈切线的信，说成已经送到我手里。信是否全文转来，后来的人仍在争。把「可能看见」写成「已经盗用」，中间隔着一层修辞。

牛顿：权术不能把 1669 年的《分析》写成 1684 年。日期写在纸上。

莱布尼茨：日期也写在《学术纪事》的页码上。你的委员会不采信印刷，只采信你能控制的档案柜。

第五幕：逻辑基础#

莱布尼茨：抛开谁先谁后。我们俩的量都没有严格定义。无穷小既在又不在。流数是运动里的瞬时，而瞬时本身要靠极限来讲。

牛顿：《原理》里我尽量不用无穷小说话。几何比例、最初比和最终比，是为了让论证看起来像欧几里得，而不是像一串被砍掉的高阶项。

莱布尼茨：看起来像欧几里得，不等于地板已经铺好。你删掉的那些项，理由仍是「它们消失了」。消失的规则是什么，你我都还欠着。

牛顿：欠着，不等于方法无效。行星轨道、阻力介质、光学里的折射，算出来的数对得上。

莱布尼茨：数对得上，是工具的德性，不是定义的德性。我愿意把无穷小说成有用的虚构：不是世界上的一块金子，而是计算许可。许可只要内部不打架，就可以用。

牛顿：数学若开始经营虚构，和修辞有何分别？量应当是真实的量。

莱布尼茨：真实的量是哲学偏好。形式科学管的是符号变换是否可重复。dy/dx 在纸上可重复，∫ 可还原为差分的逆运算。这一对互逆，比「量是否在自然界里有对应物」更要紧。

牛顿：互逆我当然知道。流量与流数也是一对。我们争的不是这一对是否存在，是它该用运动来理解，还是用符号来理解。

莱布尼茨：也可以两者都要。但英国此后一百年死守点记号，等于选了一种更难教的理解。

第六幕：历史的裁决#

牛顿：历史会把发明权判给谁？

莱布尼茨：现代读档案的人，多半会写：你更早得到方法，我更早付印；两人独立。这不是各打五十大板，是承认发现可以并行。

牛顿：并行不能抹掉第一。委员会的问题仍在：谁是第一发明人。

莱布尼茨：第一发明人若以手稿计，你赢。若以公共科学计，1684 年和 1686 年的两篇论文把微分和积分送进了共和国。没有印刷，就没有伯努利，没有洛必达，没有大陆上那一代分析。

牛顿：《原理》不是分析教科书，但它把微积分变成了写自然的语言。万有引力、运动定律、月球、潮汐。没有这些，你的 d 可能停在切线和极值。

莱布尼茨：物理应用是你的深度。记号与传播是我的深度。把深度说成独占，是优先权官司的习惯，不是数学的习惯。

牛顿：独占？英国数学家后来用你的 dy/dx，不用我的点。我知道。

莱布尼茨：那不是我赢了你，是纸赢了抽屉。十九世纪初剑桥的分析学会改用大陆记号，是因为要算的人受不了落后，不是因为学会又开了一次庭。

第七幕：无穷小量的复活#

这场对谈跨过两人的寿命。莱布尼茨卒于 1716 年，牛顿卒于 1727 年。下面让后来的数学走进来，不是假装他们活到了二十世纪。

莱布尼茨：贝克莱 1734 年的《分析学家》骂的是我们共同的伤口。十九世纪柯西、魏尔斯特拉斯用 ε-δ 把极限写严。你们英国人的「最终比」，被改写成不等式语言。

牛顿：那套语言站在我这边。增量要多小可以多小，比有极限，不必承认一种又零又非零的量。

莱布尼茨：1960 年代鲁宾逊的非标准分析，用模型论给无穷小一个合法位置。超实数里，dx 可以是真正的非零无限小。我当年说的「有用的虚构」，有一条路可以变成对象。

牛顿：对象化不等于我错了。极限之路仍然干净。无穷小之路要额外的逻辑机器。两条路通到同一类定理，说明当年打架的不是对错，是许可证的写法。

莱布尼茨：许可证的写法会改变能问的问题。d 可以迭代成高阶微分形式，∫ 可以搬到流形上。点记号在力学草稿里仍方便，在结构扩展上吃力。

牛顿：力学草稿正是我要的地方。我发明流数，是为了写运动。你发明 d，是为了一种普遍文字。目标不同，工具就会分叉。

莱布尼茨：分叉之后仍可以汇合。汇合需要时间，不需要皇家学会的判决书。

第八幕：遗产#

牛顿：这场官司伤了数学。十八世纪英国分析落后于大陆，点记号和民族自尊心绑在一起。

莱布尼茨：大陆这边也浪费了年岁，用来证明我不是小偷。约翰·伯努利 1713 年那封攻击你人格的匿名信，帮不上忙。人格战会吞掉题目。

牛顿：基尔要的是题目：你是否从我的信里抽出了原则。委员会给了他们想要的句子。

莱布尼茨：他们没问过我。没问过的判决，可以吓住通信，吓不住后来的教科书。今天学生写 dy/dx，积分号拉成 S，并不因此把你从 1665 年抹掉。

牛顿：也不该把你从 1684 年抹掉。我恨的是「借鉴」这个词被用成偷窃。独立发现要求一个条件：后到的人确实自己走完了路。我始终怀疑你走完的方式。

莱布尼茨：怀疑可以保留。证据链到不了「看见手稿 = 盗用核心」。科林斯的抄本、奥尔登堡的转信、字谜，构不成一部犯罪小说。它们构成一部通信史。

牛顿：通信史里，我先写在纸上。这一点我不会让。

莱布尼茨：印刷史里，我先送到订户手里。这一点我也不会让。其余的——谁更接近后来的严格性——交给 ε-δ 和超实数去分。我们两人谁都没活着看见地板铺完。

牛顿：地板铺完之后，优先权官司仍会再来。下一次换一批人名。

莱布尼茨：会。因为机构要英雄，期刊要第一。算法本身不需要英雄。它需要能算、能教、能查。

哲学启示#

这场对话要处理的不是一句口号式的「两人都发明了」，而是三件可以分开的事：

• 手稿优先与印刷优先：牛顿的流数法在 1660 年代已经能工作；莱布尼茨 1684–1686 年把微分和积分变成公共技术。把其中一件叫「唯一发明」，是在偷换计时标准。
• 记号改变能问的问题：dy/dx 与 ∫ 不只是书写习惯，它们降低了推广的成本；点记号贴近力学草稿，却让英国分析在十八世纪走慢。
• 机构如何生产「结论」：1712 年的《通讯》由牛顿任主席的学会印发，报告底稿出自主席本人，莱布尼茨未被要求陈述。优先权可以是数学问题，也可以是档案与权力的问题。

后人可以同时承认：两人独立走到了邻近的算法；牛顿更早；莱布尼茨先发表且记号胜出；皇家学会那一次调查不能当作中立裁决。

延伸阅读：牛顿《自然哲学的数学原理》(1687)、《曲线求积术》（1704，《光学》附录）；莱布尼茨《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》(1684)；皇家学会《通讯》(Commercium Epistolicum, 1712/1713)；亚伯拉罕·鲁宾逊《非标准分析》(1966)