毕达哥拉斯

破除误解#

人们多知道"毕达哥拉斯定理"（勾股定理），却少知这位思想家本人。需澄清两点：其一，直角三角形三边的平方关系在巴比伦（约公元前1800年的普林顿322泥板已有系统列表）与中国（《周髀算经》）早已为人所用，毕达哥拉斯学派的独特贡献是给出证明并将其纳入一个宇宙观。其二，毕达哥拉斯并非纯粹的数学家，而是一位宗教—哲学共同体的领袖，数学、音乐、伦理与灵魂净化在他那里是一体的。把他仅当作"数学家"，会错过他对柏拉图乃至整个西方理性主义的深远影响。

更重要的史学提醒是：毕达哥拉斯本人未留下任何著作，我们对他的了解大部分来自公元前4世纪以后的传述，哪些思想真正出于毕达哥拉斯本人，哪些出于后来的学派，历史学家很难确定。以下内容基于学界较有共识的叙述，必要处注明不确定性。

生平#

毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前570年—约公元前495年）出生于爱琴海东岸的萨摩斯岛（Samos，今属希腊）。父亲姆尼萨尔科斯（Mnesarchus）据传是一位雕刻家或商人。

• 约公元前570年：出生于萨摩斯岛（时间来自古代资料的推算）
• 据传曾游历埃及（学习几何与宗教）、巴比伦（学习天文和数术），并可能接触波斯马基教士（Magi）的思想——这些旅行记载的真实性存疑，但在文化交流频繁的古代地中海世界并非不可能
• 据说在萨摩斯不满僭主波利克拉底（Polycrates）的统治，决定离开故乡
• 约公元前530年：移居南意大利的克罗顿（Kroton，今卡拉布里亚地区），在当地建立了一个兼具宗教戒律与学术研究的团体——毕达哥拉斯学派（Pythagoreans）
• 该团体奉行严格的生活规范：饮食禁忌（禁食豆类和某些动物肉类，理由可能与轮回信仰相关），缄默修行期（新成员在一段时间内只能听课不能发言），部分财产可能共有，知识严格保密（对外保密程度使我们今天难以分清哪些思想出于毕达哥拉斯本人）
• 学派在克罗顿及附近城市政治影响力相当大，但后来遭到反对派袭击和迫害——学者们通常称此为"反毕达哥拉斯运动"（约公元前5世纪，具体时间和经过有多种版本）；毕达哥拉斯本人可能因此流亡至梅塔蓬托（Metapontum）
• 约公元前495年：据传逝世于梅塔蓬托，时间和情形不确定

核心思想#

1. 万物皆数#

毕达哥拉斯学派的核心信条是：数（arithmos）是万物的本原。这一命题的产生有其经验基础：他们发现，音乐的和谐可以用简单的整数比精确表达：

• 弦长之比 $2:1$ → 相差八度（octave）的和谐音程
• 弦长之比 $3:2$ → 纯五度（perfect fifth）
• 弦长之比 $4:3$ → 纯四度（perfect fourth）

这一发现在古代是震撼性的：听觉上的美竟由数的关系决定。若音乐的和谐如此，毕达哥拉斯学派由此飞跃出一个大胆假说：整个宇宙的秩序都是数与比例的体现。"数"不只是计量工具，而是事物的本质结构。

亚里士多德在《形而上学》（Metaphysics 985b）中总结："毕达哥拉斯学派认为数是万物的元素和本原……数即是事物本身，而非与事物分离地存在。"——但亚里士多德同时指出这一立场的困难：若数是事物本身，那么"公正"是几，"灵魂"是几，如何对应？

这是人类第一次系统地设想：自然之书是用数学写成的——这一信念至今驱动着理论物理学。伽利略在17世纪说"自然之书是用数学语言写成的"，爱因斯坦对数学方程精确描述物理实在深感惊奇，都是这一毕达哥拉斯信条在不同时代的回响。

2. 毕达哥拉斯定理#

毕达哥拉斯学派以毕达哥拉斯定理最为著名：在任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：

$$a^2 + b^2 = c^2$$

毕达哥拉斯学派据说给出了这一关系的一般性证明（而非仅仅验证特殊情形如"3-4-5"三元组），尽管他们具体采用的证明方式已无从考证。欧几里得在《几何原本》（Elements）第一卷第47命题中给出了一个以面积重排为基础的严格证明。

值得注意的是，这一定理也导致了毕达哥拉斯学派信条的内部危机：对等腰直角三角形（两直角边均为1）应用此定理，斜边等于 $\sqrt{2}$——但 $\sqrt{2}$ 不能表示为任何整数之比（它是无理数），这直接挑战了"万物皆（整数及其比值的）数"的信条。关于学派成员希帕苏斯（Hippasus）因发现并传播这一真理而被溺死的传说，真实性存疑，但它生动地体现了数学发现与哲学信条之间的张力。

3. 天体的和谐（Musica Universalis）#

毕达哥拉斯学派把数的和谐推广到宇宙。他们认为天体（行星、太阳、月亮）的运行也遵循和谐的比例，运动中发出我们因习惯而听不见的"天体音乐"（musica universalis，harmony of the spheres）——"宇宙"（kosmos，"秩序"）这个词据说正是毕达哥拉斯最早用于描述有序整体的宇宙。

尽管这一图景在细节上是思辨的，它确立了一个深远的范式：宇宙是一个有序、可理解、由数学法则统辖的整体。开普勒（Johannes Kepler）在《世界的和谐》（Harmonices Mundi，1619）中探寻行星轨道的数学比例——尽管他真正发现的是行星运动第三定律（$T^2 \propto a^3$），但驱动他寻找的正是毕达哥拉斯式对宇宙数学和谐的信念。

4. 灵魂转世（Metempsychosis）与宗教共同体#

毕达哥拉斯学派还相信灵魂转世（metempsychosis，或 palingenesia，轮回）：灵魂不朽，会在人、动物乃至植物的躯体间轮回。毕达哥拉斯据传声称自己能回忆前世（其中一世据说是特洛伊英雄的战友）。

这一信仰与奥尔弗斯教（Orphism）有密切联系，可能来自东方或本土宗教传统。它在哲学上有重要意义：

• 若灵魂在动物中轮回，那么动物应当受到道德上的关怀（这可能是某些饮食禁忌的哲学根据）
• 生活的目标是通过净化（katharsis）——研习数学、聆听和谐、遵守戒律——使灵魂摆脱肉体的束缚，回归其神圣本源
• 数学不只是知识，更是一种精神修炼：理解宇宙的数学秩序，就是使自己的灵魂与之协调

这使毕达哥拉斯学派成为一个兼具学术研究与宗教修炼的共同体——类似于中世纪的修道院，但以数学和音乐取代了祈祷和礼拜。

5. 数的宇宙学#

毕达哥拉斯学派发展了一套精细的数的宇宙学，以"十字架形数"（tetractys，一到四的点图，$1+2+3+4=10$）为神圣符号，认为它包含了和谐的全部比例（1:2:3:4 对应于八度、五度、四度）。

他们区分了奇数与偶数的形而上学地位（奇数有限，偶数无限；奇数对应善、男性、光明；偶数对应恶、女性、黑暗），建立了一个以数为基础的宇宙二元论——"对立表"（table of opposites），包含十对对立：有限/无限、奇/偶、一/多、右/左、男/女、静/动、直/弯、光/暗、善/恶、方/长方形。

影响与遗产#

毕达哥拉斯通过 柏拉图 深刻地塑造了西方思想：

• 柏拉图的"理念论"——永恒、非物质、可被理性把握的实在——带着鲜明的毕达哥拉斯印记
• 柏拉图对数学作为通往真理之阶梯的推崇，以及在柏拉图学园门上刻写"不懂几何者不得入内"的传说，都反映了毕达哥拉斯式对数学的崇敬
• 柏拉图的灵魂不朽说、回忆说（学习是灵魂对前世知识的回忆），与毕达哥拉斯的轮回信仰有直接关联

"宇宙具有数学结构"这一信念，从柏拉图经伽利略、开普勒、牛顿一直延续到当代理论物理——量子场论、弦理论以精细的数学结构描述基本粒子，宇宙学以数学模型推断宇宙历史——或许是毕达哥拉斯留给人类最深远的遗产。

毕达哥拉斯与奥尔弗斯教：宗教背景#

毕达哥拉斯的灵魂转世信仰（metempsychosis）与古希腊宗教运动奥尔弗斯教（Orphism）有密切的历史联系，理解这一背景有助于把握他的思想的宗教性质。

奥尔弗斯教以传说中的诗人俄耳甫斯（Orpheus）为精神祖先，在公元前6世纪的希腊城邦中广泛流传，尤其在南意大利和西西里的希腊殖民地（正是毕达哥拉斯建立学派的地区）。奥尔弗斯教的核心信条包括：

• 灵魂（psychē）是被囚禁在肉体中的神圣存在，肉体是灵魂的"坟墓"（sēma/sōma，"身体/坟墓"的双关）
• 灵魂经历多次轮回转世（在人、动物、植物之间），以净化自身
• 通过遵守戒律（饮食禁忌、仪式净化）和哲学/神学知识，灵魂可以摆脱轮回，回归神圣来源
• 俄耳甫斯的"黄金诗行"（gold tablets）记录了灵魂在死后通往冥界的路径指引

毕达哥拉斯的轮回信仰与奥尔弗斯教的框架高度一致。他的学派可以被理解为奥尔弗斯教的数学化版本：灵魂净化不只通过宗教仪式，而是通过理解宇宙的数学秩序——数学研究本身就是精神修炼。这使毕达哥拉斯学派具有了独特的地位：宗教与数学在其中不是对立的，而是同一精神追求的两个面向。

毕达哥拉斯的饮食戒律与神秘传说#

毕达哥拉斯学派围绕其创始人积累了大量神秘传说，这些传说的内容怪异，真实性存疑，但它们揭示了学派的宗教性质和古代人对这位人物的想象。

禁食豆类：据多个古代资料记载，毕达哥拉斯严禁学派成员食用豆类（主要是蚕豆，fava beans）。解释不一：可能与轮回信仰有关（豆荚内有气孔，被认为是灵魂的寓所）；可能有生理原因（某些人群因缺乏G6PD酶而对蚕豆过敏，引发"蚕豆病"，古人不理解原因而神秘化）；也可能是纯粹的宗教清洁规则，类似于各文化中的饮食禁忌。

黄金大腿传说：据传毕达哥拉斯有一条金大腿，在某次公开场合显现，证明他是神性存在。这一传说在古代被当作他能召唤神灵显身的证据。

能回忆前世：据传他曾声称自己能清楚记得至少四个前世，包括特洛伊战争时期、当一只孔雀、当一株植物等——这些主张的真实性无从考证，但它们与学派的轮回信仰（metempsychosis）高度一致。

同时出现在两地：古代资料记载，毕达哥拉斯曾在同一天被看见同时出现在克罗顿和梅塔蓬托两个不同的城市。

这些神迹传说，加上学派的保密传统和严格戒律，使毕达哥拉斯在古代被定位为一个具有神圣属性的先知式人物——更接近宗教创始人（如奥尔弗斯主义的传说人物俄耳甫斯），而非我们今天想象的数学家。正是这种"数学神秘主义"与"宗教权威"的奇特结合，使他的历史形象至今仍难以还原。

毕达哥拉斯在科学史中的持久影响#

"宇宙是数学写成的"这一信念，是科学史上最有影响力的形而上学信条之一，而它的来源可以直接追溯到毕达哥拉斯。

伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）：他在《试金者》（Il Saggiatore，1623）中写道："自然哲学是用数学语言写成的，字母是三角形、圆形和其他几何图形；没有这些，人类一个字都不可能理解它；没有它们，人类只能在黑暗的迷宫里徒劳地漫游。"这是毕达哥拉斯信条最著名的现代表述之一。

开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）：他终生相信行星轨道的比例具有数学和谐性，写了《世界的和谐》（Harmonices Mundi，1619），在其中发现了行星运动第三定律（$T^2 \propto a^3$，周期的平方正比于轨道半长轴的立方）。驱动他寻找的，是毕达哥拉斯式对宇宙数学和谐的信念。

爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）：他对"纯粹数学竟然能精确描述物理实在"深感惊奇，在自传性文章中将这种"惊奇"作为他最深的智识感受之一加以描述。广义相对论的场方程（$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$）以几乎不可思议的数学简洁性，描述了引力与时空曲率的关系——这种"数学的不合理有效性"（Wigner语）在爱因斯坦那里引起了准毕达哥拉斯式的惊异。

弦理论与数学基本主义：当代理论物理的弦理论（string theory）和圈量子引力（loop quantum gravity）等框架，把数学结构推到了比爱因斯坦更极端的地位——有些物理学家（如马克斯·泰格马克，Max Tegmark）主张"数学宇宙假说"：宇宙本质上是一个数学结构，物理实在与数学结构完全等同。这是21世纪最彻底的"万物皆数"主张。

当然，这种比附有其局限：毕达哥拉斯的"数"指的是整数及其关系，与现代数学的极度抽象性相差甚远。但精神上的渊源是真实的：相信数学的语言能够揭示宇宙的最深结构，这一信念的起点，可以合理地追溯到那位萨摩斯岛上的神秘主义者。

毕达哥拉斯学派的政治与衰落#

毕达哥拉斯学派不只是一个哲学学派，更是一个具有实际政治影响力的精英团体，这也是其最终遭受激烈反弹的原因之一。

学派在南意大利的克罗顿和邻近城邦（梅塔蓬托、西巴里斯等）积累了相当大的政治影响力：学派成员据说控制了克罗顿的多个核心行政职位，以严格的道德生活和秘密结社的方式运营，这必然引起当地平民和贵族反对派的疑虑。

反毕达哥拉斯运动（约公元前5世纪中叶，具体时间多种版本）：据记载，克罗顿有一位叫西隆（Cylon）的贵族，曾申请加入学派被拒绝（可能是因为性格审查未通过），随后发动反学派的政治运动，煽动民众冲击并焚烧学派聚会的场所（据某些记载，这发生在梅塔蓬托）。许多学派成员在这次袭击中遇难，幸存者分散至意大利各地。毕达哥拉斯本人（如果当时还在世）可能在这场动乱中去世，但具体情形不详。

这次政治迫害对理解毕达哥拉斯学派的传承有重要意义：学派的秘密性（禁止对外传授、禁止公开披露）很可能从一开始就有政治因素——在一个强调自由讨论的希腊城邦中，一个知识保密的封闭团体必然引发猜疑。同时，这种秘密性也使我们今天极难确定哪些思想真正出自毕达哥拉斯本人，哪些是后来学派成员的发展。

无理数的危机：数学信条与发现的冲突#

毕达哥拉斯学派"万物皆数"的信条建立在整数及其比值（有理数）上：他们相信一切量都可以用整数或整数之比来表达。但他们自己的最重要定理导致了这一信条的内部危机。

等腰直角三角形中，两直角边各为1，则斜边 $c$ 满足 $c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，即 $c = \sqrt{2}$。问题是：$\sqrt{2}$ 是否可以用分数（整数比值）表达？

证明它不能的论证，在古希腊数学中以一个优雅的反证法完成：设 $\sqrt{2} = p/q$，其中 $p, q$ 为互素（最简分数）的正整数。则 $2q^2 = p^2$，所以 $p^2$ 为偶数，则 $p$ 为偶数，设 $p = 2k$，则 $2q^2 = 4k^2$，即 $q^2 = 2k^2$，所以 $q$ 也为偶数——但这与"$p, q$ 互素"矛盾。因此 $\sqrt{2}$ 不能用任何整数比来表达，它是无理数。

这对"万物皆（整数之比的）数"是根本性的打击。传说学派成员希帕苏斯（Hippasus of Metapontum）发现并传播了这一真理，被学派处以死刑（溺死于海中）——这个故事的真实性存疑，但它生动地展示了数学发现与形而上学信条之间可能发生的激烈冲突。

无论传说真假，这场危机是数学史上最重要的认识论危机之一。它最终推动了希腊数学家把比例理论建立在几何基础而非数论基础上（欧多克斯的比例理论，后来进入欧几里得《几何原本》第五卷），也预示了19世纪实数理论（戴德金、康托）的必要性。

毕达哥拉斯与中国文化中的"数"#

中国古代也独立发展了"数"与宇宙秩序之间的深刻关联，与毕达哥拉斯学派的哲学形成了有趣的跨文化对照：

勾股定理（《周髀算经》）：中国在毕达哥拉斯之前就知道"勾三股四弦五"（3-4-5直角三角形），并将其应用于天文测量。但中国的使用主要是工程与测算性的，没有发展为毕达哥拉斯式的"数是存在的本质"的形而上学信条。

《易经》的数象哲学：阴阳、八卦、六十四卦的数学结构，反映了中国对"数的宇宙秩序意义"的深刻思考。但"数"在《易经》中与在毕达哥拉斯那里有根本的性质差异：前者是变化的符号系统（用来把握宇宙的变化过程），后者是不变的实体（数字是不动的本原）。

这一比较提醒我们：对"数"与宇宙秩序之关系的追问，是人类文明的普遍关怀，但不同文化对这一关系的理解方式，以及由此发展出的知识体系，可以有根本性的差异。

"毕达哥拉斯问题"：我们能知道多少？#

在西方哲学史上，几乎没有哪位思想家比毕达哥拉斯更能展示一个根本性的认识论困境：我们通常谈论的"毕达哥拉斯"，在多大程度上是历史上真实存在的人，在多大程度上是后世建构的神话？德国古典学者沃尔特·伯克特（Walter Burkert）在其1962年的著作（英译本1972年出版）《古代毕达哥拉斯主义中的知识与科学》（Lore and Science in Ancient Pythagoreanism）中，对这个问题作出了迄今最严格的历史学考察，结论颇为令人警醒。

伯克特的核心论断是：毕达哥拉斯本人很可能是一位宗教性的先知和精神领袖，而非数学家。他的历史形象主要是由公元前4世纪以后（在他死后一至两个世纪）的传述建构的，其中混入了大量后来学派成员的思想、神话化的传说以及对他形象的理想化加工。我们能以较高可信度归属于毕达哥拉斯本人的思想，可能只有：灵魂轮回信仰（metempsychosis）、对某些饮食禁忌的强调（如禁食豆类）、以及某种对数字的宗教性崇敬——而不一定是系统的"万物皆数"哲学或精确的数学定理证明。

伯克特还提出了一个重要的内部区分：毕达哥拉斯学派内部存在两类成员——"听信者"（akousmatikoi，字面意义"听见的人"），他们接受毕达哥拉斯的宗教戒律和神秘启示，以口传记忆为主；以及"数学者"（mathematikoi，字面意义"学习者"），他们从事严格意义上的数学与哲学研究，发展了"万物皆数"等理论主张。这两类人之间存在内部张力，历史上甚至有关于二者冲突的记载。这意味着，被称为"毕达哥拉斯派"的数学贡献，很可能主要来自后者——即学派中的数学成员——而未必直接出自毕达哥拉斯本人。

关于最著名的"毕达哥拉斯定理"，有一个常被引用的历史事实：直角三角形三边的平方关系，在毕达哥拉斯之前就已为巴比伦人掌握。普林顿322号泥板（Plimpton 322，约公元前1800—1600年）列出了若干勾股数（Pythagorean triples）的有规律的系列表格，显示巴比伦数学家不仅知道这些数组，且其生成方式暗示了对该关系的某种系统性理解。因此，"毕达哥拉斯定理"这一名称所体现的历史归属，主要指的是：毕达哥拉斯学派可能是最早以严格的一般性证明（而非具体数值的验算）来处理这一关系的人——这是一个重大的方法论贡献，但它的"数学知识"内容本身并非希腊原创。这提醒我们，"谁发现了什么"的问题，往往需要区分"知道某个结论为真"（巴比伦）和"给出该结论的演绎证明"（可能是希腊）这两个层次。

对研究者和读者而言，"毕达哥拉斯问题"的意义在于：它是早期希腊哲学史研究中最极端的案例，清楚地揭示了历史认识的边界。我们所谈论的"毕达哥拉斯哲学"，实质上是一个经由多个世纪层层叠加、真假难辨的传统，而非任何可靠的个人思想档案。

伯克特的工作在方法论上具有示范意义，它提示历史研究者应当区分三个层次：毕达哥拉斯本人（几乎无可靠证据）、早期毕达哥拉斯学派（公元前5世纪，仍难以追溯）、以及晚期新毕达哥拉斯主义者（公元前后数世纪，有大量文本，但距毕达哥拉斯已远）。将这三个层次的材料混为一谈，是过去很多流行叙述犯下的错误。这种批判性区分，对所有早期希腊哲学的研究都有示范价值：在原典极度匮乏的条件下，历史重建永远包含推测，诚实地标注这些推测的边界，是哲学史研究的基本学术责任。

然而，这一批判性视角并不要求我们放弃谈论"毕达哥拉斯主义"——它只是要求我们更精确地说明所谈论的究竟是哪个层次的传统。毕达哥拉斯主义作为一种对数学与宇宙秩序之关系的信念，以及作为一种融合精神修炼与理智探索的生活方式，无论其历史归属多么复杂，都是希腊思想中真实存在的重要传统，对柏拉图哲学和西方数学观念的形成有深远影响。"毕达哥拉斯问题"的最终教训，与其说是"毕达哥拉斯不重要"，不如说是"我们对他的了解比通常以为的要少得多"——这是一种在历史谦逊中保持思想好奇的态度。

从知识史的角度来看，"毕达哥拉斯问题"的存在，恰好说明了古代口传文化与书写文化之间的根本张力：毕达哥拉斯学派刻意保守秘密，拒绝系统著述，使得最核心的思想只在圈内口耳相传。这一选择在短期内保护了知识，却使后人无从确认何者出于创始人之口。与之形成对照的是，苏格拉底同样没有留下文字，但通过柏拉图的大量对话录，我们对他的思想面貌有相当具体的了解——这说明，知识的传承依赖于整个文化生态，而不仅仅取决于个人的能力或意愿。

跨域连接#

• 傅里叶分析：毕达哥拉斯学派发现和谐音程对应简单整数比（八度 2:1、五度 3:2），这是人类历史上第一次把感官品质还原为可测量的数量关系，也是"自然可用数学描述"这一信念的起点。现代声学把它说得更完整：音高对应基频，音色对应泛音的分布，而协和度与泛音的重合程度相关——整数比之所以听起来和谐，有可计算的原因。
• 知觉生理学：整数比理论有一个常被略过的限制——它无法解释为什么不同文化的音阶系统差异极大，也无法解释十二平均律（刻意偏离纯整数比）为何被广泛接受。心理声学给出的补充是：协和感由听觉临界带的掩蔽与粗糙度决定，而这些量与整数比只是近似对应。"美即数学比例"因此在这里被检验过，结论是部分成立。
• 数论："万物皆数"的纲领被无理数的发现击中——√2 不可通约在毕达哥拉斯学派内部是危机，而在现代数学里它是数系扩张的第一步。这条历史对科学哲学有直接含义：一个纲领被自己的方法证伪之后，可以不被放弃而被扩展，而"数"这个概念的外延随之被反复重写（无理数、复数、超越数）。
• 汉字书写系统：毕达哥拉斯式的"数具有本体地位"并非西方独有——中国的律吕与《周易》数术、印度的音节计量学都把数与宇宙秩序绑定。这条跨文化对照有方法论价值：它说明"数字神秘主义"是一种反复出现的认知倾向，而不是某一传统的特产；也因此，把它当作科学起源的必要前奏，需要更谨慎的证据。

参考文献#

• Aristotle. Metaphysics, Book I, 985b—986b（最早系统讨论毕达哥拉斯数学哲学的古代文献，亚里士多德的批判性评述）
• Kirk, G.S., Raven, J.E. & Schofield, M. The Presocratic Philosophers (2nd ed., Cambridge University Press, 1983) — 第7章专论毕达哥拉斯，含批判性原典讨论
• Burkert, Walter. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism (trans. Edwin Minar Jr., Harvard University Press, 1972) — 20世纪最重要的毕达哥拉斯学术研究，严格区分历史层次，区分"历史的毕达哥拉斯"与"传说的毕达哥拉斯"
• Kahn, Charles H. Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History (Hackett, 2001) — 简明但学术严谨的导论，适合入门
• Riedweg, Christoph. Pythagoras: His Life, Teaching, and Influence (trans. Steven Rendall, Cornell University Press, 2005) — 综合性传记研究
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Pythagoras" (https://plato.stanford.edu/entries/pythagoras/)