弗兰克–赫兹：汞蒸气里的电子怎样把能量一份一份交出去

破除误解：不是电离，不是轨道照片，也不是万物公分母#

第一个误解，是把 4.9 伏写成汞的电离。他们自己起初也这样读。论文把临界电压叫成电离电压。汞的第一电离能其实约为 10.4 eV。4.9 eV 对应的是基态 $6^{1}S_{0}$ 到 $6^{3}P_{1}$ 的激发。原子随后放出波长 253.7 nm 的紫外共振线。光子能量 $hc/\lambda$ 就落在 4.9 eV 附近。紫外打在金属电极上会打出光电子。光电流可以装成“管内出现了离子”。装成电离，是光电效应走进了碰撞管。走进去之后，台阶的位置仍是真的。位置标的是激发，不是把价电子从汞原子里打出来。两个阈值不要并成一个。光学面孔澄清之后，电离诠释才退场。退场写进科学史，不能删掉 1914 年把临界电压叫成电离的原标题。

第二个误解，是把这套装置写成“给玻尔轨道拍照”。I–V 曲线是电流对电压。曲线上的齿是能量交换的阈值，不是电子绕核的轨迹。没有显微镜看见圆环，也没有底片记录轨道半径。玻尔模型把允许轨道写成公设，好让氢光谱的项值差对得上。弗兰克–赫兹管不问半径，只问：自由电子交给汞原子的动能是不是离散的。离散的证据是重复出现的电压间隔。间隔是标量，不能还原成椭圆或圆。把齿写成轨道照片，会把判决实验升级成摄像机。它不是摄像机。它是能量账本。账本只登记电子在汞蒸气里一次能交出多少。

第三个误解，是把 4.9 eV 写成一切原子的普适常数。它是汞这条 $6^{1}S_{0}\rightarrow 6^{3}P_{1}$ 通道的激发能。氖、钠、氢会给出另一串临界电压，因为项值不同。换气体，齿距换。齿距换，正说明测到的是该种原子的内部结构，不是真空里的一个宇宙常数。把 4.9 背成“量子化的通用步长”，会把元素个性抹掉。量子化是这类碰撞的共同形式：能量一份一份走。份的大小是光谱指纹。指纹因原子而异。汞被选中，是因为室温附近就能维持可用的蒸汽，共振线又落在当时分光设备够得着的紫外。选择是仪器史，不是汞在周期表上享有形而上学特权。

装置：阴极、加速栅、收集极、汞蒸气、I–V 齿#

逻辑可以收成一条能量门。阴极供给慢电子。荷质比那套管见 汤姆孙 1897：同一类载体，未知数从 $e/m$ 换成汞的激发能。阴极与栅极之间的电压把电子加速。电子在汞蒸气里走，路上撞原子。栅极之后是收集极。收集极相对栅极略负，形成一个减速门槛。只有穿过栅极时仍带足够动能的电子，才能爬过门槛被计数。电流是这些“还富余的”电子的计数率。电压是它们出发时被赋予的动能标尺。标尺往上加，计数率本应上升。上升被一串下跌打断。下跌就是对象。

碰撞先是弹性的。电子质量远小于汞原子，弹性碰撞几乎不交动能，只改方向。加速电压低于约 4.9 伏时，电子可以把动能攒到栅极附近，多数仍爬得过减速门槛，电流随电压上升。电压刚过 4.9 伏，电子在靠近栅极处第一次有资格做非弹性碰撞：把大约 4.9 eV 交给汞原子，自身动能骤降。降完之后，减速门槛把它挡回去，收集极电流下跌。电压继续加，电子可以在交出第一份之后重新加速，电流再爬。加到约 9.8 伏，路上可以交出两份，再跌。14.7 伏附近再跌。I–V 曲线于是呈现周期性的齿。齿距重复，是同一份激发能被串起来用了多次。1914 年的伴生观察里，辐射已以 253.6 nm 量级的紫外出现；当时仍被卷进电离故事，后来才改读成激发的收据。

栅极必须是网。网让电子穿过加速区，又让大部分原子碰撞发生在栅极之前的蒸汽里。收集极必须比栅极稍负。不负，能量几乎耗尽的电子仍能漂进去，下跌被抹平，齿消失。汞必须以蒸汽出现在电子的飞行路径上。没有蒸汽，曲线回到真空二极管的平滑上升。有蒸汽而无减速门槛，非弹性损失仍在发生，却不一定写成电流的突然下跌——下跌是“损失”被门槛翻译成“到不了”。翻译是装置。装置把微观的能量交换写成电表上的齿。电流不是能级图。能级图是后来把齿距接进光谱项值之后才画出来的。

实际曲线比理想阶梯脏。蒸汽太稀，齿浅；太密，加速区的能量标定被多次散射搅糊。阴极发射漂，栅极几何不理想时 4.9 伏的边被拉宽。宽是仪器函数，不是能量变成连续。连续图像会把齿抹成斜坡。斜坡没有出现。出现的是可重复的下跌。可重复，才对得上那条紫外共振线。对得上之前，它已经是一份可交接的能量。可交接，已经否决“电子可以把任意大小的动能连续倒进原子”。连续倒进去，不会长出等距的齿。

它测到了什么，没有测到什么#

它测到：在该蒸汽、该栅极几何与该减速门槛下，电子与汞原子的非弹性碰撞在约 4.9 伏的整数倍处打开，收集极电流随之周期性下跌；下跌间距与汞 253.7 nm 共振线的光子能量一致。它测到能量交换有最小一份，这一份属于汞的一条确定通道。它没有测到汞的电离能——电离约在 10.4 eV，是另一扇门。它没有测量玻尔轨道半径，也没有给主量子数 $n$ 拍照。它没有证明电子在原子里沿闭合曲线运动。它没有给出氢的 13.6 eV，更没有给出里德堡公式。氢的项值在光谱页与玻尔模型页上完成。本管的样品是汞。汞不是氢。把汞的 4.9 eV 写进氢的巴尔末公式，是张冠李戴。

它也没有自动完成旧量子论向波动力学的过渡。1914 年的齿可以接入玻尔的“分立能量差”，因为双方都需要一份不能连续分割的能量。接入成功，不等于轨道公设被拍照证实。后来的薛定谔本征值同样给出分立差，却取消轨道。同一串齿，可以先后支持两套内部图像。支持的是能量差，不是图像。图像的更换属于氢原子量子理论那一页。本页停在碰撞管。停住，是为了不让 I–V 曲线被事后的波函数吞掉。波函数可以解释为什么是这些差。解释是理论，见 玻恩 1926。曲线是电表。电表不显示 $\psi$。

课堂演示管与 1914 年的逻辑同构，齿可以更圆、更浅，位置也可以因接触电势平移零点几伏。零点漂移不取消齿距。把课堂曲线的圆角写成“能量其实连续”，是把仪器函数误判成本体论。4.9 是汞这一份，要连着 253.7 nm 读。断开波长，它就变回当初被叫错的电离电压。同一条曲线，读成电离或读成激发，差在有没有把紫外收据和 10.4 eV 的真电离门放在旁边对照。电表只给齿。对照是诠释纪律。

限制还要写进通道选择。汞还有更高的激发。电压推得更高，多条通道开始抢电子的动能，齿的图案变复杂。1914 年抓住的是最容易先打开的那一条。最容易不等于唯一。本页只负责第一道齿如何被减速门槛翻译成电流下跌，以及为何这道齿会被误读成电离。紫外光电流与真离子电流在当时的电极上不好分。限度被光谱波长钉住之后，激发诠释胜出。胜出不改曲线。改的是纵轴事件的名字：从“产生离子”改成“产生 $6^{3}P_{1}$”。名字一改，诺贝尔奖词里的碰撞定律才站稳——定律管的是能量一份一份交，不是管内一定出现过汞离子。

深一层：临界电压、光谱收据与理论槽#

临界电压是碰撞实验的语言。光谱项是光学的语言。两种语言要靠 $eV = hc/\lambda$ 对接。对接成功，激发诠释才压过电离诠释。1914 年他们已经看见紫外，却仍把 4.9 伏写进电离。看见与读懂不是同步的：电极上的光电子会假扮离子。假扮不会把齿距移走。齿距由碰撞的能量守恒钉住。移走的是事件的身份。身份要靠独立的波长测量来认领。教材若写成“他们一量就证明了玻尔”，会把认领压缩成顿悟，并删掉光电流这个干扰项。同一条电流可以同时被两种微观过程驱动。要分开，必须引入不走电极的那条收据——光子的波长。

汞被选中，还把化学个性写进电学实验。$6^{3}P_{1}$ 是三重态，从单重基态去激发它在偶极选择定则里并不“完全允许”，却仍是汞最醒目的紫外通道之一。通道醒目，齿才深。换一种原子，第一激发也许与电离门靠得太近，齿与真电离叠在一起，1914 年那种误读会更难拆。汞的项值碰巧把激发与电离错开了大约一倍：4.9 对 10.4。气体放电传统里汞本来就常见，常见把一个元素的数字冻进了教材。冻进之后，学生容易以为量子化长着一张汞的脸。揭掉以后剩下形式：非弹性碰撞的能量以该原子的项值为一份。形式跨元素。数字不跨。

理论槽的更换同样要分层。1914 年的槽是电离势。玻尔 1913 年的槽是分立项值差。两条槽抢同一串齿。齿更适合第二槽，因为波长收据与电离能的独立测定都站在那边。抢赢之后，教材倒写意图：仿佛管子是为验证玻尔而造。意图写在他们自己的标题里：碰撞与电离电压。玻尔模型页可以把本实验列为能量量子化的实证支持，但必须注明：支持的是分立差，不是轨道；支持来自事后对接，不是出发命题。正确的台阶可以先被放进错误的名词。名词错，台阶仍在。4.9 要配上 253.7 nm 和 10.4 eV 这两条旁证，才从“某个临界数”变成“这一条激发”。旁证是跨仪器的，不是单管神迹。

Gustav Hertz 是 Heinrich Hertz 的侄子。叔叔那一页是电磁波与光电副效应。侄子这一页是慢电子的能量账本。两页都出现“赫兹”，测量的不是同一个量。不要把光电效应的截止频率与汞的 4.9 eV 并成一句“赫兹家族证明了量子论”。元件是阴极、栅、收集极与汞蒸气。人名是元件上的标签。1914 年的词汇是电离。旁证后来把词汇换掉。领奖不把原标题改写成先知。先知叙事让光电流与接触电势不可见。不可见之后，4.9 会变成魔法数。拆完只剩：一份汞的激发能，被减速门槛写成电流齿，被 253.7 nm 认领，被 10.4 eV 与电离划清界限。

跨域连接#

• 玻尔原子模型：玻尔页常把本实验写成轨道图像的判决。本对象停在阴极、加速栅、收集极与 I–V 齿。齿支持的是分立能量差，不是半径公设。1914 年的标题问的是电离电压，不是去验证 1913 年的圆轨道。概念页应链到能量账本与事后对接，而不是把管子写成玻尔摄像机。摄像机叙事会删掉他们自己写过的电离一词。电离一词必须保留，否则对象页会变成玻尔页的附录。
• 原子光谱：253.7 nm 是 $6^{3}P_{1}$ 回到 $6^{1}S_{0}$ 的共振线。光谱页把这条线写成汞的指纹；本页把同一条线写成非弹性碰撞的收据。没有波长，4.9 伏可以被叫成电离。有了波长，$eV=hc/\lambda$ 才把电学齿距接进项值。两条仪器传统对接之后，激发诠释才压过电离诠释。对接是跨域，不是把分光镜塞进放电管里当装饰。
• 密立根油滴实验：油滴给出电荷的台阶 $e$，本管给出能量的台阶（对汞而言约 4.9 eV）。两次量子化不要并成一次顿悟。电荷台阶在空气里的油珠上被称；能量台阶在蒸汽里的电子动能上被扣。计量对象不同，装置不同，被否决的连续图像也不同：一个是电荷任意连续，一个是动能可以任意倒进原子。并成一句“量子化被证实”，会把两套管的元件一起删掉。
• 氢原子的量子理论：波动力学用本征值重写分立差，并取消玻尔轨道。本管的齿在那次重写之后仍然有效，因为它从来只登记差，不登记轨迹。氢的 13.6 eV 与汞的 4.9 eV 不是同一个数，也不该被教材调包。调包会让学生以为量子化有一个万能步长。万能步长不存在。存在的是形式：束缚体系的能量差进入碰撞与辐射。形式在氢页上用波函数展开；在本页上用电表的齿展开。
• 范式：同一串电流下跌，1914 年被放进电离势的老问题，几年后被放进分立激发的新槽。曲线没有改，事件的名字改了。范式在这里不是有人拒绝数据，而是共同体用哪一套名词去认领临界电压。认领需要紫外收据和真电离能这两条旁证；旁证来齐之前，正确的台阶可以住在错误的标题里。教材要教的是怎样把后见之明的玻尔叙事从原标题上揭下来，而不是把揭下来的标题写成他们从未犯过的错。

参考文献#

1. Franck, J., and G. Hertz. “Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und den Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben.” Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 16 (1914): 457–467.
2. Franck, J., and G. Hertz. “Über die Erregung der Quecksilberresonanzlinie 253.6 µµ durch Elektronenstöße.” Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 16 (1914): 512–517.
3. Bohr, N. “On the Constitution of Atoms and Molecules.” Philosophical Magazine 26 (1913): 1–25.
4. Franck, J. “Transformations of Kinetic Energy of Free Electrons into Excitation Energy of Atoms by Impacts.” Nobel Lecture, 1926.

延伸阅读#

• 与 玻尔原子模型、原子光谱 对读：I–V 齿距如何接到 253.7 nm，而不把管子写成轨道照片。
• 与 氢原子的量子理论 对读：分立差在旧量子论与波动力学里的公共内容，以及轨道图像为何可以从这笔内容里撤走。