埃拉托色尼测地球周长

破除误解：不是发现地球是圆的，也不是精确到百分之二#

教科书里这套故事常被收成一句口号：埃拉托色尼用一口井和一根杆，把地球周长测到了只差百分之二。这句口号把三件不同的事叠在一起。

第一件，希腊人在他之前早已把地球当作球体来论证，亚里士多德用月食的圆影、船只先没船体等观察说话；本篇的对象不是那次世界观的发明。第二件，存世叙述里真正被写清楚的，是夏至正午的日影几何，以及亚历山大到塞恩（今阿斯旺）的一段路程。

第三件，把古尺换成公里之后再报误差，必须先选定一斯塔德等于多少米。斯塔德的长度本身是一桩未决的计量史，选不同的尺，就会得到完全不同的“误差”。百分之二不是硬事实。

对象要收窄。这里要看的不是欧几里得五条公设如何搭成公理体系，那是 欧氏几何 的题目。也不是大地水准面、参考椭球和现代高程基准，那是 大地测量与大地水准面 的题目。本篇只收三样东西：塞恩正午的井与日晷、亚历山大日晷上的影角，以及把这段尼罗河沿岸距离乘到整圈时用的那把尺。

装置：塞恩的井、亚历山大的日晷、尼罗河上的五千斯塔德#

埃拉托色尼（Eratosthenes of Cyrene，约公元前三世纪）在亚历山大任职。他本人讨论地球大小的著作没有完整传下来。现存最完整的方法叙述，出自后世的克里奥梅德斯（Cleomedes）所著《天体的圆周运动》（一般称 Caelestia）。成书远晚于测量本身，大约在罗马帝国前期。读它，要把它当转述，不当作出土的实验记录。

转述里的现场分成两处，必须同时成立才有几何。第一处是塞恩。夏至那天当地正午，太阳被当作正好停在天顶。克里奥梅德斯写的是日晷指针不再投下影子；又补充说，无影的范围大约有三百斯塔德的直径。

后来通俗故事把这幅画面改写成一口井：正午阳光直射井底，井壁不留影。井不是另一套几何，它只是“天顶”最容易被记住的说法。测量用的仍是日晷。

立在地面上的那根杆，希腊人叫做 γνώμων，日晷指针；半球形的碗状日晷叫做 σκάφη，指针的影尖在碗面上走出一段弧。杆给出铅垂方向，碗把影尖收成一段可与整圈比较的弧。

第二处是亚历山大，在塞恩以北。同一时刻，同一根指针有影子。克里奥梅德斯要人在碗面上，从影尖画到指针根部，得到一段弧。这段弧被读成它所在那个圆的五十分之一。换成后来的三百六十度制，就是七点二度。

数字不是从一张现代正切表里查出来的。碗本身就是圆：影弧比上碗的圆周，直接给出圆心角占全圆的比例。直角三角形里“对边比邻边”的口诀可以后补，见 三角函数；当场的装置不需要那张表，它需要的是圆上的相似弧。

两处装置还缺一根尺。克里奥梅德斯把亚历山大到塞恩的距离取作五千斯塔德，并假定两城落在同一条子午线上，路程因此就是大圆上的一段弧。这段数从哪里来，埃拉托色尼原书已不可见。斯特拉波等地理传统常把它接到沿尼罗河的行程与职业测距人（bematists）的步测、王室地籍，而不是一次由他本人拉绳走完的测量。

对几何来说，五千是一个输入。输入若错，后面的乘法再干净也只是把误差放大五十倍。尼罗河并不严格沿经线南下，塞恩也并不精确落在北回归线上。这些是假设，不是已经用现代经纬仪核过的结论。

把两处日晷和这一段路程放在同一张图上，才出现那个被反复画进课本的截面：地球是圆，两条当地铅垂线延长后交于地心；太阳光被当成平行线打进来。塞恩那根杆与光线重合，无影。亚历山大那根杆与光线夹一个角，这个角等于地心处两条半径的夹角。装置到这里已经说完。下面要问的是：这个相等凭什么成立，乘出来的那个整圈数又用什么单位写出。

几何：平行光线、内错角，以及碗里的相似弧#

截面图画的是一个圆，不是椭球。圆上取两点 $A$（亚历山大）与 $S$（塞恩）。过两点的半径是当地的铅垂线，也就是两根日晷指针向地心的延长线。太阳被放得极远，打到 $A$ 与 $S$ 的光线彼此平行。这是几何假设，不是光学实验的新发现：相对于地球半径，日地距离已经大到让夹角可以忽略。平行线被一条半径所截，内错角相等。塞恩处光线与半径重合，所以亚历山大处光线与半径的夹角，等于地心角 $\angle AOS$，其中 $O$ 是地心。

克里奥梅德斯的下一步不是解直角三角形，而是认弧。亚历山大那只碗里，影尖到杆根的弧所对的圆心角，就是刚才那个影角。碗面之弧与地球大圆上的 $AS$ 弧“对着相等的角”，因此两段弧对各自整圆的比相同。碗弧是所在圆的五十分之一，于是 $AS$ 也是地球大圆的五十分之一。路程取五千斯塔德，整圈就是二十五万斯塔德。写成比例更干净：

$$\frac{\widehat{AS}}{C} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{50} \implies C = 50 \times 5000 = 250000\ \text{stadia}.$$

课本里常把同一件事画成相似三角形：日晷高与影长构成小直角三角形，地心到两城的半径与弦（或切线）构成大三角形，对应角相等故相似，对应边成比例。图可以那样画。

克里奥梅德斯保存的推理更省：平行线给出等角，等角给出相似弧，碗里的分数直接搬到地球上。相似是圆的性质，不一定先经过“对边比邻边”。把本篇写成三角学先修课，会把碗换成现代量角器。碗已经是圆。

几何成立，要靠一组全部写明的前提。地球是球；光线平行；两城同经线；塞恩在夏至那天正午处于天顶；五千斯塔德量的是大圆弧而非沿河弯路。任何一条放松，比例就不再是严格的 $1/50$。

塞恩实际纬度大约二十四度北，公元前三世纪的北回归线大约在二十三点七度北附近，并不重合。亚历山大与阿斯旺的经度也差大约三度。这些偏差说明：叙述中的装置是理想化的夏至正午实验，不是一次已把系统误差逐项标定的现代测地。几何仍然干净。干净的是蕴含关系：若前提成立，则 $C = 50d$。前提是否成立，是另一本账。

其他古代作者常把埃拉托色尼的周长写成二十五万二千斯塔德。斯特拉波、普林尼都出现过这个数。它的好处是能被六十或三百六十整除，每度七百斯塔德，便于后来的地理表。有人推测埃拉托色尼后来改过数，有人推测是为了进位。这些解释都无法用现存残篇判决。克里奥梅德斯明确写出的乘法，是五千乘五十，得二十五万。本篇把二十五万当作这套几何故事里的那个乘积，把二十五万二千当作同一传统里另一条被广泛转述的数字，不把两者说成两次独立的野外测量。

单位：斯塔德不是米，百分之二不是硬事实#

乘法给出的是斯塔德，不是公里。斯塔德（στάδιον）在希腊世界里不是单一法定长度。赛跑场可以叫这个名字，行程单位也可以叫这个名字，不同地区、不同时期的实物长度并不自动相同。后世文献里至少能碰到意大利/阿提卡传统下大约一百八十五米量级的一种，以及有人从普林尼一句话推出、由胡尔奇（Hultsch）在十九世纪固定下来的大约一百五十七点五米。还有别的候选。哪一把才是埃拉托色尼用的那一把，没有出土标尺可以直接对上他的书。

于是“换成公里再报误差”变成选择问题。若取大约一百八十五米去乘二十五万，会得到四万六千公里量级，比今日赤道周长大约四万零七十五公里明显偏大。若取大约一百五十七点五米去乘二十五万二千，又会落到四万公里近旁，误差可以被说成百分之二甚至更小。

两种算法都不是从尼罗河边新测出的现代公里数，而是把古数接上后人选的换算。百分之二的口号通常悄悄采用后一种换算，再把它说成测量本身的精度。那是循环：先挑一把让答案好看的尺，再赞美答案好看。

更硬的说法是：这套实验在几何上测到的是一个无量纲比，影角占全圆的 $1/50$，再把这个比接到一段以斯塔德计的路程上。比可以讨论得相当清楚。尺不能假装已经校准到米。

普林尼说过八斯塔德合一罗马里之类的换算，那是罗马世界的行程语言，并不自动等于托勒密埃及官方用的那一把。把罗马里换算倒推回去，再宣布埃拉托色尼只错了百分之二，是把后一世界的尺强接到前一世界的乘积上。本篇因此不给出“他测得地球周长等于某某公里”这种句子。没有先固定斯塔德，公里句没有意义。

今日地球也不是克里奥梅德斯图里那个圆。赤道周长与过两极的周长差几十公里，海面还要被重力与潮汐写成起伏的水准面。那些是现代大地测量的对象。埃拉托色尼的装置读不到扁率，也读不到大地水准面起伏。它只在“球 + 平行光 + 一段弧长”这个模型里给一个整圈。模型的边界要说清，才不会把一口井写成地球物理卫星的前身。

它测到了什么，没有测到什么#

它测到的第一件事，是把“地球有多大”从哲学数量估计改写成一个可检验的比例。亚里士多德曾留下四十万斯塔德量级的说法，单位同样含糊，方法也不是这套夏至日影。埃拉托色尼的贡献不在于宣布地球是球，而在于指定两件可重复的操作：同一天正午比较两地日影，再把两地距离当成大圆弧。操作指定之后，别人可以争论影角是不是五十分之一、路程是不是五千，而不能把整圈重新说成不可问的问题。

它测到的第二件事，是欧氏平面几何在球面上的一次最小应用。平行线、内错角、圆心角与弧的正比，全部是《几何原本》里已经能写的句子。新意在于把这些句子接到两根日晷和一段行程上。

证明在这里分成两层。一层是蕴含：从那些几何前提推出 $C = 50d$，这一层可以写得像一条命题，见 证明。另一层是测量：前提里的数从装置来，装置有误差。把第二层说成第一层，会把野外的尺当成公理。把第一层说成第二层，又会把一次比例推理当成“只是大概估一估”。克里奥梅德斯保存的文本，两层都在。

它没有测到地球是圆的。球是输入。没有这个输入，无影与有影也可以解释成别的形状上的巧合。它也没有测到经度。同经线是假设；尼罗河河谷只是一条大致南北的走廊。它更没有测到一斯塔德的米数。没有米这个单位。把现代赤道周长四万零七十五公里写成“标准答案”，再倒过来给古数打分，是教材修辞，不是这套装置的读数。

它也没有给出一张可航海用的投影地图。周长是一个数。把球面画到平面上，要另选保持哪些量、牺牲哪些量，那是 地图投影 的对象。阿基米德在球与圆柱、圆周率与穷竭法里处理的是同一类“用已知量夹住未知量”，见 阿基米德；他并不需要这口井来完成那些命题。本篇的井与杆只回答一个问题：若接受那些几何前提，这一圈有多少斯塔德。

跨域连接#

• 欧氏几何：日影实验用的是平行线截线的内错角、圆心角与弧成正比，不是第五公设的公理化史。公设篇回答“哪些句子可以当起点”；本篇回答“起点已经给定之后，两根铅垂线与一束平行光怎样逼出地心角”。把测周长写成《几何原本》导论，会把一口井和一条尼罗河路程说成第五公设的应用题。井不检验平行公设是否独立。它只检验：在欧氏圆上，相等的圆心角对着成比例的弧。
• 三角函数：影长比杆高是正切，七点二度的角用现代函数很容易算出。克里奥梅德斯保存的读数却是碗弧占全圆的五十分之一。碗先给出圆分数，不必经过正弦表。三角后来把任意角变成可算的边比，于是日晷可以改成经纬仪。改成经纬仪之后，测的仍是同一个地心角，只是把“相似弧”改写成“解直角三角形”。函数是后加的语言。语言换了，夏至正午那两根杆的几何位置没有换。
• 大地测量与大地水准面：现代测地要分开椭球高与正高，还要一张大地水准面模型，才能谈海拔。埃拉托色尼的截面里没有椭球，也没有海面零点。把 GPS 高程误差写成“他当年已经考虑到的修正”，会把十九世纪以后的重力测量倒填进一口托勒密埃及的井。本篇的圆是计算用的模型球。水准面、扁率、卫星定轨是另一套装置，必须另文处理，不能在同一段里用同一把尺。
• 地图投影：周长给出球面的尺度，不给出平面上的形状。墨卡托保的是角度，等积投影保的是面积，两者都不能同时保住大圆弧在平面上仍是最短线的全部直观。有了二十五万斯塔德，仍画不出一张无变形的世界图。缺的不是更精确的影角，而是从球面到平面必须丢掉点什么这一事实。投影篇处理丢掉什么；本篇只处理那一圈有多长、用什么单位写出。
• 证明：克里奥梅德斯写下的是一条带假设的证明：若平行、同经、天顶、路程为五千，则周长为二十五万斯塔德。证明约束的是蕴含，不是野外精度。斯塔德争议改变的是把乘积译成公里时的对错，不改变等角推等弧这一步是否有效。把“百分之二”说成定理的余项，会把测量误差当成逻辑缺口。逻辑缺口要另找：哪一条前提没有被装置真正读到。

参考文献#

1. Cleomedes, Caelestia（《天体的圆周运动》），英译评注见 Bowen, A. C., and Todd, R. B., Cleomedes' Lectures on Astronomy: A Translation of The Heavens, University of California Press, 2004.
2. Strabo, Geography, Book 2（转述埃拉托色尼地理传统中的周长数字与测距）。
3. Goldstein, B. R. “Eratosthenes on the ‘Measurement’ of the Earth.” Historia Mathematica 11 (1984): 411–416.
4. Dutka, J. “Eratosthenes’ Measurement of the Earth Reconsidered.” Archive for History of Exact Sciences 46 (1993): 55–66.
5. Shcheglov, D. A. “The Two Earths of Eratosthenes.” Isis 106, no. 1 (2015): 1–16. DOI: 10.1086/681034

延伸阅读#

• Russo, L. “Ptolemy’s Longitudes and Eratosthenes’ Measurement of the Earth’s Circumference.” Mathematics and Mechanics of Complex Systems 1, no. 1 (2013): 67–79. DOI: 10.2140/memocs.2013.1.67
• Newell, D. “Eratosthenes and the Mystery of the Stades.” Convergence (Mathematical Association of America). 斯塔德长度诸说的课堂整理，不作本篇的长度定论。
• Pliny the Elder, Naturalis Historia, Book 2（二十五万二千斯塔德等罗马转述，用于对照克里奥梅德斯的二十五万）。