mathematics / deep readings

数学深度阅读

从证明、无穷与非欧几何，到信息论、复杂系统和因果推断：以问题史和应用脉络理解数学。共 23 篇。

代数

2 篇

群论与对称

群论; 对称性; 伽罗瓦; 群作用; 表示论; 李群; 物理学; 晶体学

代数群论对称性伽罗瓦

线性代数的几何意义

线性代数; 向量空间; 线性变换; 矩阵; 特征值; 基变换; 几何直觉

代数线性代数向量空间线性变换

分析

2 篇

微积分的故事

微积分; 极限; 导数; 积分; 牛顿; 莱布尼茨; 柯西; 魏尔斯特拉斯; 微积分基本定理

分析微积分牛顿莱布尼茨

无穷的故事

无穷; 康托尔; 集合论; 基数; 可数无穷; 不可数无穷; 连续统假设; 对角线论证

分析无穷康托尔集合论

几何

2 篇

非欧几何革命

平行公设; 非欧几何; 双曲几何; 椭圆几何; 罗巴切夫斯基; 鲍耶; 高斯; 黎曼; 几何基础

几何非欧几何平行公设罗巴切夫斯基

拓扑学入门

拓扑学; 同胚; 欧拉示性数; 基本群; 连通性; 紧致性; 莫比乌斯带; 克莱因瓶

几何拓扑学同胚不变量

跨学科

2 篇

复杂系统入门

复杂系统科学研究那些由大量相互作用的组成部分构成、且整体行为无法从部分行为简单推导的系统。从蚁群到互联网，从细胞到城市，复杂系统无处不在，它们遵循着某些共同的组织原则。理解这些原则不仅具有学术价值，也对我们应对气候变化、金融危机、流行病等全球性挑战至关重要。

复杂系统涌现自组织网络

决策科学导论

决策科学是研究人类如何做出选择以及如何改进这些选择的跨学科领域。它融合了心理学、经济学、数学、神经科学和哲学的洞见，试图理解从个人日常选择到国家政策制定的决策过程。决策不仅是一种行为，更是一种认知活动，涉及信息处理、价值判断和不确定性管理。

决策行为经济学博弈论认知偏误

数论

2 篇

费马大定理

费马大定理; 丢番图方程; 椭圆曲线; 模形式; 谷山-志村猜想; 怀尔斯; 伽罗瓦表示

数论费马大定理怀尔斯椭圆曲线

素数之谜

素数; 素数定理; 黎曼ζ函数; 黎曼猜想; 素数分布; 解析数论; 筛法; 哥德巴赫猜想

数论素数黎曼猜想解析数论

数学基础

3 篇

什么是数学

数学定义; 形式科学; 抽象; 模式; 结构; 公理化; 数学柏拉图主义; 形式主义; 直觉主义; 数学基础

数学基础数学哲学数学定义公理化

数学与现实

数学应用; 不合理有效性; 数学柏拉图主义; 物理学; 数学建模; 自然科学; 纯粹数学; 应用数学

数学基础数学哲学物理学数学应用

证明的艺术

证明; 演绎推理; 归谬法; 数学归纳法; 构造性证明; 计算机辅助证明; 证明美学; 数学严格性

数学基础证明方法数学美学逻辑推理

统计学

2 篇

贝叶斯统计入门

贝叶斯定理; 先验分布; 后验推断; 频率派; 贝叶斯神经网络; 不确定性量化; 马尔可夫链蒙特卡洛

概率统计机器学习推断

因果推断入门

"相关不等于因果"是统计学中最重要也最容易被忽视的原则。理解因果关系——而不仅仅是相关关系——是科学推理、政策制定和日常决策的基础。因果推断提供了从数据中识别因果关系的严格框架，它正在改变经济学、医学、社会科学和人工智能的研究范式。掌握因果推断不仅是统计学家的技能，更是每个现代公民的必备素养。

因果推断相关性RCTPearl

应用

6 篇

应用数学

2 篇

网络科学导论

网络科学; 图论; 小世界网络; 无标度网络; 幂律; PageRank; 传播动力学; 复杂系统

网络图论复杂系统社交网络

信息论基础

信息论; 信息熵; 信道容量; 数据压缩; 霍夫曼编码; 交叉熵; KL 散度; DNA 信息

信息熵编码通信