欧拉 vs 达朗贝尔：无穷级数的收敛性

对话背景#

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler, 1707—1783）与让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert, 1717—1783）同年去世。两人在无穷级数与弦振动上争执了几十年。这场对话把两条线叠在一起：一条是发散级数有没有"和"；另一条是 1747 年起柏林科学院卷页上的波动方程——函数究竟必须是一条解析式，还是可以是任意曲线。

欧拉在分析、数论、力学里都留下奠基性工作。他对无穷级数有极强的形式直觉：即使部分和不趋向极限，他仍愿意给级数一个值。1748 年的《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）把函数当作解析表达式来操作。达朗贝尔是狄德罗《百科全书》的合编者，写过流体阻力里的达朗贝尔悖论，也是最早坚持级数必须收敛才有和的人之一。比值判别法后来常冠他的名字。

弦振动是他们争论的物理现场。1747 年，达朗贝尔向柏林科学院提交《关于张紧弦振动所成曲线的研究》，写出波动方程 $\partial^2 y/\partial t^2 = a^2 \partial^2 y/\partial x^2$，并给出行波解 $y = f(x+at)+g(x-at)$。欧拉随即跟进，承认达朗贝尔的优先权，却拒绝他把初始形状限制为单一解析式。丹尼尔·伯努利 1753 年再加入，主张一切运动都是驻波的叠加。三人谈的其实是同一件事：什么叫函数。

第一幕：无穷级数的魅力#

欧拉：达朗贝尔先生，无穷级数是分析学中最美丽的对象。考虑这个级数：

$$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$$

这个等式将整数、圆周率和无穷级数联系在一起——这是不可思议的。

达朗贝尔：欧拉先生，这个级数确实是美的。但它是收敛的——它的部分和趋向一个确定的极限。我关心的是：发散级数怎么办？

欧拉：你指的是什么？

达朗贝尔：例如这个级数：$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$。它的部分和在 0 和 1 之间振荡——它不趋向任何极限。这种级数有意义吗？

欧拉：我认为有。如果我们形式地将这个级数的和记为 $S$，那么 $S = 1 - (1 - 1 + 1 - \cdots) = 1 - S$，所以 $S = \frac{1}{2}$。

达朗贝尔：但这是不严格的！$S$ 不存在——级数不收敛。你不能对一个不存在的量做代数运算。格兰迪（Luigi Guido Grandi）把这个级数交给神学去讲"无中生有"；莱布尼茨用掷币的概率给它 $\frac{1}{2}$。我要的不是寓言，是极限。

欧拉：莱布尼茨的 $\frac{1}{2}$ 与我的形式运算一致。这不是偶然。当许多互不相干的手法给出同一个数，这个数就值得认真对待——哪怕部分和在 0 与 1 之间来回跳。

第二幕：欧拉的直觉#

欧拉：达朗贝尔先生，让我为我的方法辩护。我承认 $1 - 1 + 1 - \cdots$ 不是传统意义上的收敛。但如果我们把它看作 $\frac{1}{1+x}$ 在 $x=1$ 处的值，那么它的"和"应该是 $\frac{1}{2}$。

达朗贝尔：你在用解析延拓！$\frac{1}{1+x}$ 的幂级数在 $|x| < 1$ 时收敛，但在 $x = 1$ 时发散。你不能将收敛域外的值等同于级数的和。

欧拉：但数学应该有更大的灵活性。如果一种手法在许多例子里给出一致、可核对的结果，我们就该记下这个结果——哪怕当时还没有极限语言来批准它。巴塞尔问题就是这样：我把 $\sum n^{-2}$ 算成 $\pi^2/6$，先靠无穷乘积与三角函数的形式操作，严格证明是后来的事。

达朗贝尔：但这种灵活性可能导致矛盾。接受发散级数的"和"之后，你怎么保证两套算法不会给出两个不同的数？我主张先看相邻项之比：若 $|a_{n+1}/a_n|$ 的极限大于 1，级数必散；小于 1，才谈得上绝对收敛。没有这道门槛，形式运算会把我们带进随便哪个答案。

欧拉：比值能拦住几何级数，拦不住 $1-1+1-1+\cdots$，也拦不住调和级数的边界。经验告诉我哪些操作可靠。这不是许可证，是工作中的纪律——我知道哪些形式步骤会自相矛盾，就避开它们。

第三幕：达朗贝尔的严格性#

达朗贝尔：欧拉先生，我坚持：无穷级数只有在收敛时才有和。$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots$ 没有和——它是发散的。任何声称它有"和"的方法都是不严格的。

欧拉：1749 年我写过一篇后来才刊出的文章，讨论正幂级数与倒数幂级数之间一种"美丽的关系"。后世把它读成 $\zeta$ 函数的函数方程。至于 $1+2+3+\cdots$ 是否就等于 $-\frac{1}{12}$，后来的历史学家并不一致：有人认为我已经把这个值赋给了发散级数，有人认为我当时更放心的是交错的 $\eta$ 级数，并没有把正项级数 $1+2+3+\cdots$ 真的写成那个负数。

达朗贝尔：即便你只是在猜测，$1+2+3+\cdots$ 也显然是正的、发散的。它的部分和趋向正无穷。$-\frac{1}{12}$ 是负数。一个越加越大的正项级数，怎么能等于一个负数？

欧拉：在我活着的时候，我给不出你要的那种证明。一百多年后，黎曼在 1859 年把 $\zeta(s)=\sum n^{-s}$ 定义在 $\mathrm{Re}(s)>1$，再解析延拓到复平面（$s=1$ 处有极点）。在这个延拓里 $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$。后人常把这个值说成"我当年猜到的那个数"。更准确的说法是：我写下了联系 $s$ 与 $1-s$ 的关系；把 $-\frac{1}{12}$ 钉在 $1+2+3+\cdots$ 头上，是后来的读法，不是我自己的定理。

达朗贝尔：这就对了。$\zeta(-1)$ 是延拓后的函数值，不是级数 $1+2+3+\cdots$ 的和。两个概念不应混成一句话。你的直觉走得很快，语言却不该假装极限已经存在。

第四幕：弦振动与物理学#

达朗贝尔：欧拉先生，让我把争论从纸上的级数，拉回 1747 年那根弦。我在柏林科学院的报告里写出了波动方程，并给出通解 $y=f(x+at)+g(x-at)$。两端固定之后，任意函数必须能延拓成周期为两倍弦长的奇函数，并且服从连续性定律——在我的用语里，这意味着由单一解析式给出、可逐次求导。拨弦那种带尖角的折线，我的方法覆盖不了。

欧拉：我承认你先写出了方程。但我看不出物理上有什么理由，强迫初始形状必须是一条公式。琴弦可以被拉成折线，不同段落用不同式子，只要在接点处接得上。我所谓的"不连续"，并不是曲线断开，而是不能用同一个解析式写遍整根弦。对这种曲线，行波解仍然有几何意义——哪怕二阶偏导数在尖角处写不出来。

达朗贝尔：没有二阶导数，方程本身就没有意义。你把几何图像当成了证明。

欧拉：丹尼尔·伯努利 1753 年从另一边进来。他说一切微小振动都是泰勒那种正弦驻波的叠加，任意条、任意系数。他以为这样就包含了你我的解。我不接受他把驻波叠加说成通解：三角函数级数只覆盖一部分运动，除非你先证明任意曲线都能写成这种级数——而这一点，我们谁都还没有证明。

达朗贝尔：傅里叶要到下一世纪才会把热传导里的三角级数写成系统。我们三个人争的不是那套后起的名字，而是：函数是公式，还是曲线？你允许分段、允许尖角；我要求解析与可微；伯努利相信驻波已经足够。物理图像在这里帮不了忙——它同时支持三种说法。

欧拉：正因如此，我才更信任能算出可听频率的形式步骤。若一种写法给出正确的音高，它就是可用的。你要的那种对任意函数逐点收敛的证明，会来得很晚。

第五幕：分析严格化的开始#

达朗贝尔：欧拉先生，我担心你的方法会导致分析学的混乱。发散级数、无穷小、弦上的分段曲线——这些对象都还没有定义清楚，你已经在上面做运算了。

欧拉：达朗贝尔先生，这些运算给出了能核对的结果：巴塞尔问题的 $\pi^2/6$，指数与三角的桥梁，弦上传播的波形。严格性重要，但不该挡住发现。弦的问题已经表明：若我们只承认单一解析式，拨弦这种最普通的实验会被排除在数学之外。

达朗贝尔：但没有严格性的发现是不可靠的。你的一些结果后来被发现是错误的——例如你对发散级数的某些操作导致了矛盾。

欧拉：这些错误是可以修正的。重要的是方法的方向——严格化可以后来再做。

达朗贝尔：我认为严格化应该从一开始就要做。数学不能建立在直觉和经验之上——它需要逻辑的基础。

第六幕：无穷小量的争议#

欧拉：达朗贝尔先生，让我谈谈无穷小量。微积分里我们使用比任何正数都小、却还不等于零的量。它们没有被定义清楚，却支撑着求导与积分。弦的波动方程本身就是二阶偏导数——若无穷小不合法，我的通解和你的方程会一起掉下去。

达朗贝尔：正是这个困难。无穷小是零还是非零？若是零，$\frac{dy}{dx}=\frac{0}{0}$，没有意义；若非零，它就不是真正的瞬时变化率。我要求极限：先让增量存在，再看比值趋向什么。没有这一步，偏导数只是写在纸上的记号。

欧拉：我把无穷小看成"正在消失的量"——趋向零，尚未到达。对拨弦的尖角，这个说法更尴尬：那里的二阶导数根本写不出来，波形却仍沿弦走。物理没有等我们把定义写完。

达朗贝尔："正在消失"不是数学谓词。它把时间引进了对象。我们需要一个不依赖运动隐喻的极限定义，否则弦振动与级数求和会继续共用同一套含糊。

欧拉：也许你是对的。可是把每一步都写成极限，会让发现变得极慢。我宁可先算出能听、能核对的式子，再让后人补定义。

第七幕：柯西与魏尔斯特拉斯#

欧拉：达朗贝尔先生，让我告诉你后世的事。柯西（Cauchy）在1820年代给出了极限的严格定义——$\epsilon$-$\delta$ 定义。他用这个定义严格化了连续性、导数和积分的概念。

达朗贝尔：这正是我所期望的。柯西的工作将分析学建立在严格的基础之上。

欧拉：但柯西的工作仍然不完美。魏尔斯特拉斯（Weierstrass）在1860年代进一步严格化了分析学——他用 $\epsilon$-$\delta$ 语言消除了所有对无穷小量和直觉的依赖。他的"病态函数"——处处连续但无处可微的函数——表明直觉有时是错误的。

达朗贝尔：这证明了我的观点：严格性是必要的。直觉可以引导我们，但严格性保证我们不会犯错。

欧拉：我同意严格性是重要的。但我担心：过度的严格性可能扼杀创造力。柯西和魏尔斯特拉斯的分析学是严格的——但它也失去了欧拉时代的灵活性和美感。

第八幕：发散级数的现代理论#

欧拉：达朗贝尔先生，让我告诉你一个有趣的发展。在20世纪，数学家发展了发散级数求和理论——切萨罗求和、阿贝尔求和、波莱尔求和。这些理论为发散级数赋予了严格的"广义和"。

达朗贝尔：这是什么意思？

欧拉：例如，$1-1+1-1+\cdots$ 的切萨罗和是部分和的平均，等于 $\frac{1}{2}$。阿贝尔求和把 $1-x+x^2-x^3+\cdots$ 在 $x\to 1^-$ 时的极限写成同一个数。这些定义把我当年的形式步骤收进可核对的框架，却并不宣称级数在旧意义上收敛。

达朗贝尔：所以你的直觉被证明是对的？

欧拉：只在"另给一种求和"的意义上。我承认：十八世纪我给不出你要的极限证明。弦上的折线也是同一类事情——后来的弱解、傅里叶级数，才让尖角变得合法。定义来得很晚。

达朗贝尔：这说明发现与验证要轮流做。你可以先走，但必须留下能让后人改写成定义的痕迹。没有痕迹的直觉，只是尚未出错的运气。

第九幕：欧拉公式的永恒#

欧拉：达朗贝尔先生，让我以我的公式结束。$e^{i\pi} + 1 = 0$——这个公式将五个最重要的数学常数联系在一起：

• $e$：自然对数的底
• $i$：虚数单位
• $\pi$：圆周率
• $1$：乘法单位元
• $0$：加法单位元

达朗贝尔：这个公式确实是美的。它是怎么得到的？

欧拉：从欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$。令 $x = \pi$，得到 $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$。所以 $e^{i\pi} + 1 = 0$。

达朗贝尔：这个公式将代数（$e, i, \pi$）、几何（$\pi$）、分析（$e$）和算术（$0, 1$）统一在一起——这确实是数学统一性的最好象征。

欧拉：而且这个公式是通过形式运算得到的——将指数函数扩展到复数域。在我的时代，这种扩展缺乏严格的基础。但结果是正确的——这说明数学直觉有时比严格性更深刻。

分析#

欧拉与达朗贝尔的争论有两条互相缠绕的线。一条是发散级数：没有极限的符号串能否被赋予一个数。另一条是弦振动：1747 年的波动方程迫使他们回答"函数是什么"。欧拉允许分段、允许尖角、允许形式运算；达朗贝尔要求收敛、解析、可微。丹尼尔·伯努利的驻波叠加是第三条路，要等到傅里叶 1822 年的热传导理论，三角级数才获得系统地位。历史没有让其中一人单独获胜。欧拉的形式步骤后来被切萨罗求和、阿贝尔求和、解析延拓部分收回；达朗贝尔对收敛的坚持，经过柯西与魏尔斯特拉斯，变成 $\epsilon$-$\delta$ 语言。弦上那根折线，则把"任意函数"推进了十九世纪。

核心分歧#

两人最根本的分歧在于：数学方法的有效性标准是什么？欧拉认为：若一种手法给出一致、可核对的结果，它就是有效的——即使极限语言尚未跟上。达朗贝尔认为：没有收敛与可微，运算没有对象。弦振动把分歧变成定义问题：函数是公式，还是曲线。这一分歧也是"发现"与"验证"的分工——欧拉往前走，达朗贝尔要求回头写清每一步。

当代启示#

欧拉关于发散级数的形式步骤，在二十世纪物理学里被重新启用。玻色弦的临界维数 $D=26$ 的一种算法，会写到 $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$；卡西米尔效应的正则化也经过类似的发散处理。这不等于 1749 年那篇文章已经证明了 $1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}$——物理学用的是延拓与正则化，不是欧拉当场给出的极限。弦振动那条线同样没有结束：任意函数、弱解、分布，都可以看成 1747 年那根允许尖角的弦的远裔。直觉可以走在定义前面，定义仍必须后来补上。

延伸思考#

• 如果欧拉生活在严格化时代，他的数学创造力会受到影响吗？
• 物理学是否需要比数学更宽松的严格性标准？
• 人工智能能否发展出欧拉式的数学直觉？

延伸阅读：达朗贝尔《关于张紧弦振动所成曲线的研究》(1747)；欧拉《无穷分析引论》(1748)；欧拉《关于正幂与倒数幂级数的一项美丽关系》(写于1749，刊于1768)；莫里斯·克莱因《数学：确定性的丧失》(1980)；William Dunham《Euler: The Master of Us All》(MAA, 1999)；G. H. Hardy《Divergent Series》(1949)