生平
亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928—2014）是20世纪最伟大的数学家之一，被誉为"代数几何的重塑者"。他的工作彻底改变了代数几何的面貌，并深刻影响了数论、拓扑学和数学物理。格罗滕迪克出生于德国柏林，父亲是无政府主义者亚历山大·沙皮罗（Alexander Schapiro），母亲是记者约翰娜·格罗滕迪克（Johanna Grothendieck）。他的父亲是犹太人，在二战期间被纳粹杀害于奥斯威辛集中营。
格罗滕迪克在法国长大，1945年后进入蒙彼利埃大学学习数学。他的天赋引起了教授的注意，被推荐到巴黎高等师范学校学习。在巴黎，他受到了嘉当（Henri Cartan）和塞尔（Jean-Pierre Serre）的影响。
1950年至1953年，格罗滕迪克在南锡大学完成了关于泛函分析（拓扑向量空间理论）的博士论文，导师是迪厄多内（Jean Dieudonné）与施瓦茨（Laurent Schwartz）。他在这一时期奠定的核张量积、核空间等成果至今仍是泛函分析的经典。此后，他转向代数几何，并在这一领域做出了革命性的贡献。
1958年，格罗滕迪克被任命为巴黎高等科学研究所（IHÉS）的研究教授。在此后的十年中，他撰写了《代数几何基础》（EGA）和《代数几何讨论班》（SGA），彻底重建了代数几何的基础。
1966年，格罗滕迪克获得菲尔兹奖。然而，他对数学界的官僚化和军事化越来越不满。1970年，他辞去了IHÉS的职位，抗议该研究所接受军方资助。
此后，格罗滕迪克在蒙彼利埃大学任教，同时研究生物学和哲学。1991年，他突然消失，隐居在比利牛斯山区的一个小村庄。他的晚年生活极为孤独，拒绝与外界接触。2014年11月13日，他在圣吉龙去世，享年86岁。
核心贡献
概形理论
格罗滕迪克最伟大的贡献是创立了概形理论（scheme theory），彻底重建了代数几何。
经典代数几何研究的是代数簇——多项式方程组的零点集。例如，圆 是一个代数曲线。
格罗滕迪克的创新是将代数几何建立在交换代数的基础上。他引入了概形（scheme）的概念——一个局部同构于交换环的谱（Spec）的空间。
仿射概形：设 $A$ 是交换环， 是 $A$ 的所有素理想的集合，配备了扎里斯基拓扑和结构层。
概形：一个局部同构于仿射概形的环化空间。
概形理论的优势在于： 1. 统一了代数几何和数论：整数环 的素理想对应于素数，数论问题可以转化为几何问题 2. 处理了"无穷小"结构：概形可以包含"厚点"（nilpotent elements），对应于无穷小邻域 3. 函子化观点：概形之间的态射由环同态决定，体现了范畴论的思想
层论与上同调
格罗滕迪克发展了层论（sheaf theory）和上同调（cohomology）的一般理论。
层（sheaf）：一个将开集映射到代数结构（如群、环、模）的函子，满足局部化和粘合条件。
层上同调：格罗滕迪克定义了层的上同调群 ，推广了经典的德拉姆上同调和奇异上同调。
六大操作：格罗滕迪克建立了层论的六大基本操作： - （逆像） - （正像） - （紧支撑正像） - （异常逆像） - （张量积） - （内部Hom）
这些操作满足一系列深刻的对偶关系，如庞加莱对偶和塞尔对偶的推广。
范畴论的应用
格罗滕迪克是范畴论（category theory）的先驱之一。他将范畴论的方法系统地应用于代数几何和代数拓扑。
导出范畴：格罗滕迪克引入了导出范畴 $D(A)$ 的概念——将同伦范畴中的拟同构反转后得到的范畴。导出范畴成为现代代数几何和表示论的核心工具。
Abel范畴：格罗滕迪克定义了Abel范畴——一种具有核、上核和直和的加法范畴。Abel范畴是同调代数的自然舞台。
Grothendieck拓扑：格罗滕迪克推广了拓扑的概念——Grothendieck拓扑允许在一般的范畴上定义"开覆盖"和"层"。这使得层论可以应用于非拓扑的范畴，如概形范畴。
动机理论
格罗滕迪克提出了动机理论（theory of motives）的纲领——统一各种上同调理论。
代数几何中有多种上同调理论： - 德拉姆上同调（特征零） - ℓ进上同调（特征p） - 晶体上同调（特征p） - Hodge结构（复数域）
格罗滕迪克猜想存在一种"万有的"上同调理论——动机（motive）——所有其他上同调理论都是它的"实现"。虽然动机理论至今仍未完全建立，但它深刻影响了现代代数几何和数论的发展。标准猜想（standard conjectures）是格罗滕迪克提出的关于动机的关键猜想，至今未解。
代数几何讨论班
格罗滕迪克的代数几何讨论班（SGA）是数学史上最重要的讨论班之一。从1960年到1969年，他主持了多次讨论班，产生了大量原创性工作：
- SGA 1：étale基本群
- SGA 2：局部上同调和连通定理
- SGA 3：概形上的群概形
- SGA 4：拓扑斯和层论
- SGA 4½：étale上同调
- SGA 5：ℓ进上同调（未完成）
- SGA 6：晶体上同调（由他人整理）
- SGA 7：模问题和单值性
SGA不仅是格罗滕迪克个人的工作，也是整个代数几何学派的集体成果。参与SGA的数学家包括迪厄多内（Dieudonné）、德利涅（Deligne）、贝林松（Berthelot）等。
数学哲学
格罗滕迪克的数学哲学可以概括为结构主义——他关注的不是具体的对象，而是对象之间的关系和结构。
他的方法论特点包括： 1. 一般化：将具体问题抽象到最一般的框架 2. 函子化：用函子而非元素来描述数学对象 3. 相对化：在相对的背景下研究问题（如相对于基概形） 4. 纲领化：提出宏大的研究纲领，引导后续研究
格罗滕迪克曾用"大海捞针"的比喻来描述他的方法：与其直接寻找针（具体结果），不如先将海水抽干（建立一般理论），针自然就出现了。
历史背景
格罗滕迪克生活在20世纪中后期的法国。这一时期法国数学正处于黄金时代——嘉当、韦伊、塞尔、施瓦茨、孔耐等大师辈出。在数学方面，20世纪中叶是代数几何革命的时代。韦伊（André Weil）将代数几何从复数域推广到任意域，为数论提供了几何工具。格罗滕迪克在此基础上进行了更彻底的重建——他不仅推广了代数几何的结果，还改变了代数几何的语言和思维方式。
思想遗产
格罗滕迪克的影响深远而持久：
- 概形理论：成为现代代数几何的标准语言
- 层论与上同调：成为代数几何和代数拓扑的核心工具
- 范畴论：推动了范畴论在数学中的广泛应用
- motives纲领：引导了代数几何和数论的发展方向
- 数学教育：EGA和SGA成为代数几何的标准参考
德利涅（Pierre Deligne）在1974年证明了韦伊猜想，使用了格罗滕迪克的概形理论和上同调方法。这一成就被视为格罗滕迪克纲领的伟大胜利。
与其他数学家的关系
- 塞尔：格罗滕迪克的最重要的合作者和启发者
- 迪厄多内：格罗滕迪克的主要合作者，EGA的主要作者之一
- 德利涅：格罗滕迪克的学生，证明了韦伊猜想
- 韦伊：格罗滕迪克的前辈，韦伊猜想是格罗滕迪克纲领的核心目标
- 黎曼：格罗滕迪克的概形理论是黎曼曲面理论的深远推广
- 希尔伯特：格罗滕迪克的公理化方法继承了希尔伯特的传统
跨域连接
- 代数几何：他的策略是把难题放进一个更大的框架，直到原来的困难在新框架里变成平凡情形——用他自己的比喻，与其捞针不如先把海水抽干。推论是：抽象成功的标志是特例数目下降；若抽象层自己长出一堆特例，那就是选错了框架。
- 软件中的抽象：同一条判据在工程里照样成立：好的抽象让调用方不必知道底下有几种实现，坏的抽象把实现细节以参数的形式泄漏出来。推论是：可以用"新增一种实现要改动多少调用点"来量度一层抽象称不称职，这是能实测的指标而非风格偏好。
- 物理学的借用：额外维紧化所需要的语言——层、上同调、形变理论——正是他重建代数几何时打造的工具。推论是：一套为纯粹结构问题设计的语言，后来能承接物理猜想的严格表述，说明抽象的收益往往在设计当时根本无法预见。
- 科研伦理与政治：他因抗议所在研究所接受军方资助而辞职。推论是：经费来源实际参与决定研究议程，把拒绝当作个人否决权来行使，代价是失去建制内的位置；因此这种否决在结构上只有极少数人负担得起，不能当作普遍方案。
- 理解意味着什么：在他的标准里，理解的目标是让困难消失，而不是把困难克服掉。推论是：这条标准可以反过来用作诊断——一个证明若必须依赖某次巧妙构造才能推进，通常说明合适的框架还没被找到。
参考文献
- Alexander Grothendieck, EGA (4卷, 1961—1967)
- Alexander Grothendieck, Récoltes et Semailles (1986)
- Allyn Jackson, Comme Appelé du Néant — As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck (2004)
- Colin McLarty, The Rising Sea: Grothendieck on Simplicity and Number I (2007)
延伸阅读
- 梁宗巨, 《数学历史典故》, 辽宁教育出版社, 1992
「真正的发现之旅不在于寻找新的风景，而在于拥有新的眼睛。」——马塞尔·普鲁斯特（这句话常被用来概括格罗滕迪克"换一种眼光看数学"的治学精神）