菲奇可知性悖论

这是什么，这不是什么#

这是一则关于「能够被知道」会不会塌成「已经被知道」的印刷论证。一九六三年六月，弗雷德里克·B·菲奇在《符号逻辑杂志》第二十八卷第二期发表《若干价值概念的逻辑分析》（"A Logical Analysis of Some Value Concepts"），页码一百三十五至一百四十二。论文主线是给「知道」「相信」「使得发生」一类带评价色彩的算子做形式约束，并不是一篇以「悖论」为标题的谜题。后来被反复引用的，是其中关于知道算子的第五定理：若存在一句真实却无人知道的命题，则存在一句真实却无人能够知道的命题。把这条定理对偶过来，就得到今日所谓可知性悖论，也称邱奇–菲奇结果：若每一句真话都可知，则每一句真话都已知。年份钉在一九六三年，因为那是这条论证第一次印成铅字的年份。对象钉在这份八页印本，不钉在后世课堂里的习题编号。

它不是盖梯尔问题。盖梯尔同年在《分析》第二十三卷用两则反例追问：得到证成的真信念是否已经够格叫知识。压力在证成与真理之间的运气，不在「可知」与「已知」会不会塌成一句。它也不是序言悖论：梅金森问每条信念与合取能否同时合理，不是可知性算子会不会把未知的真逼成已知。菲奇几乎不讨论证成，也不需要史密斯、琼斯或口袋里的硬币。他只需要一个很薄的算子 \(K\)：它对合取可拆，并且知道的事情为真。把两篇焊成「一九六三年知识论翻车」，会把认识论里两条完全不同的裂缝焊成同一条。盖梯尔问知识的配方少了哪一味；菲奇问的是，若你允许「凡真皆可知」，薄算子会不会逼你接受「凡真皆已知」。

它不是出乎意料的绞刑。蒯因一九五三年要压的是：一条含「你事先不知道是哪一天」的公告，当事人能不能把它当作已知，从最后一天往回删格。绞刑的自我指涉写在日历和预告上；菲奇的自我指涉写在「\(p\) 为真且 \(p\) 不被知道」这句合取上。两者表面都出现「不知道」，机制不是同一个。绞刑争的是反向归纳的第一块砖是否合法；菲奇争的是未知的真理本身还能不能被知道。用七天判决去解第五定理，或用第五定理去宣布绞刑已有标准答案，都是换题。

它也不是睡美人。埃尔加问的是：公平硬币已经落地，一次无法自我定位的醒来里，「正面」该写成多大的有中心信念。压力在醒来索引的是抛掷还是醒来，不在「所有真理是否原则上可知」。睡美人始终知道规则；她缺的是日期标签。菲奇的装置甚至不必安排遗忘，也不需要两次不可分辨的醒来。把两则焊成「都是关于不知道」，会把自我定位信念错接成对可知性原则的归约。

这也不是达米特验证主义的生平，更不是把反实在论写成已经破产的判决书。达米特主张：语句的意义与它在什么条件下可被核验、被知道绑在一起，「凡真皆可知」常被当作这条路线的口号。菲奇的定理后来确实被用来逼问这句口号。可一九六三年这篇论文并不以达米特为传主，也不把「价值概念」写成语义反实在论专论。你可以对照验证主义，不能把本页的对象换成一个人的思想传记。它同样不是一份只堆形式推演的习题答案。下面会用中文把发表出来的步骤走一遍，好让读者看见塌方发生在哪一刀。

破除误解#

第二种读法是：这就是盖梯尔，只是把运气换成了模态。盖梯尔的人拥有真信念，也拥有当时看起来够用的证成，直觉仍不肯把那一票叫作知识。菲奇的 \(K\) 不分析证成，也不需要运气叙事。他甚至可以把「知道」读成「曾经或将会有人知道」，而不必指定哪一个认知者此刻的心理状态。两篇同年发表，都碰到「知道」这个词，裂缝不在同一处。用停走的钟、福特车或十枚硬币去给第五定理发反例，是把配方问题偷运进一条关于算子闭合的定理。

第三种读法是：这就是绞刑或睡美人，只是把日历、醒来换成了「可知」。三者都会在句子里写进「不知道」，索引不同。绞刑的「不知道」是预告里的日期条款；睡美人的「不知道」是醒来时分不清星期一与星期二；菲奇的「不知道」是对象语言里对 \(Kp\) 的否定，并且这否定与 \(p\) 捆成一句话，再被送进「可能被知道」。用反向归纳或 1/2 与 1/3 去给可知性发答案，是把未说明的问题换成已经熟悉的谜题。

第四种读法最像口号：验证主义因此完蛋，或者反过来，形式逻辑不该管经验科学里的「能够发现」。前一句把后来的争论写成一九六三年已经封卷；后一句把印本里的定理贬成符号游戏。菲奇给出的是有前提的归约：合取分配、事实性，再加上「凡真皆可知」。你当然可以拒绝其中一块砖，文献里也有人这样做。那是后来的修补，不是把第五定理读成对实验室的禁令，也不是读成对达米特的点名处刑。没有先写出 \(K\) 被假定了哪些闭合性质，「科学仍能发现新事实」或「反实在论已经死」都还没有对象。

印本里的装置#

菲奇的论文可以完全当作纸上的算子表来读。他要分析的「价值概念」范围比知识宽：知道、相信、意欲、造成某事发生，都被写成作用在命题上的算子。其中一类被他称为真理类：一旦命题进入这个类，命题本身就为真。知道是真理类，因为知道的事情不能是假的。相信不是，因为可以相信假话。这个分类本身不是悖论，它只是给后面的闭合条件准备底座。需要钉死的只有三件事。第一，知道对合取可拆：若知道「\(p\) 且 \(q\)」，则知道 \(p\)，也知道 \(q\)。第二，知道具有事实性：若知道 \(r\)，则 \(r\) 为真。第三，可知性把「真」与「可能知道」焊在一起：若 \(p\) 为真，则可能知道 \(p\)。现代文献把第三句写成 \(p \rightarrow \Diamond Kp\)。菲奇原文用的是「能够知道」这类模态，而不是后来课堂里整齐的 \(\Diamond\) 符号；力量不在符号字体，而在这三块砖被允许同时上场。

装置里的 \(K\) 通常被读得很宽：不是「我此刻知道」，而是「有人在某个时刻知道」。全知因此也不是某个人的心理传记，而是：没有一句真话永远落在所有认知者、所有时刻之外。这个读法让定理更硬，而不是更松。若连「曾经或将会有人知道」都被逼成对每一句真话成立，日常意义上的「还有没被发现的事实」就更没有存身之处。纸面装置到此为止。它不规定如何组织实验、如何让某人获知。那些会把思想实验误写成发现规程。读者只需要接受一条建模约定：未知的真理一旦被写成 \(p \land \neg Kp\)，这句合取本身也是一个命题，因而也要接受可知性条款的盘问。

菲奇没有在标题里使用「悖论」二字。他把结果写成定理。把故事说成「菲奇发明了一个谜题」，会看丢论文的体裁：它首先是算子分析，第五定理是分析的一截。阿隆佐·邱奇的位置也要写准。菲奇致谢一位匿名审稿人提示了这条论证；乔·萨莱诺后来把这位审稿人考定为邱奇，意见可追溯到一九四五年前后。本页因此也称邱奇–菲奇结果。致谢不是把对象改写成邱奇专论。印刷论证仍以一九六三年的定理为准。W. D. 哈特一九七九年把这条归约更明确地对准验证主义，「悖论」这一通行名称多半从那一阶段长出来。名称是后来的，印本是一九六三年的。

从未知的真，到不可知的真#

先把第五定理的方向摆正。它不是先宣布我们全知，再嘲笑未知。它从一句看起来最普通的承认出发：有些真话还没有被知道。令 \(p\) 为真，且 \(\neg Kp\)。于是合取 \(q\)，即 \(p \land \neg Kp\)，本身为真。若凡真皆可知，则 \(\Diamond Kq\)，也就是：可能知道「\(p\) 为真，且 \(p\) 不被知道」。下一刀发生在这句可能的知识上。若真有人知道 \(q\)，合取分配立刻给出两截：此人知道 \(p\)，并且知道 \(\neg Kp\)。事实性再作用于后一截：既然知道「\(p\) 不被知道」，则 \(p\) 确实不被知道，即 \(\neg Kp\)。可前一截已经是 \(Kp\)。于是 \(Kp \land \neg Kp\)。知识不能驮着这样的合取。因此 \(Kq\) 不可能，也就是 \(\neg \Diamond Kq\)。

到这里，未知的真已经变成不可知的真。\(q\) 为真，却不可能被知道。这正是第五定理的内容。它还不等于「我们其实全知」。全知是下一步：若你不肯承认存在不可知的真，就必须收回「存在未知的真」。在经典逻辑里，否定「存在 \(p\) 使得 \(p \land \neg Kp\)」，就是承认每一句真话都被知道。可知性原则于是塌成全知原则。现代教科书把整条链写成：\(\forall p\,(p \rightarrow \Diamond Kp)\) 推出 \(\forall p\,(p \rightarrow Kp)\)。印本的锋刃已经足够：不是「可能」这个词日常听起来很软，而是一旦「可能知道」被允许作用在「未知的真」上，可能立刻自毁。

它用的是合取分配与事实性，而不是新造一套关于发现过程的心理学。它没有宣布实验室将停止产出新事实，也没有宣布历史书已经写完。它宣布的是：在这套算子规则下，「凡真皆可知」不能与「仍有未知的真」共存。反对者若只攻击「科学家明明每天都在发现」，并没有打到这一刀。反对者必须说明：为何 \(K\) 对合取不可拆，或事实性不成立，或可知性根本不该作用于 \(p \land \neg Kp\) 这种合取，或经典逻辑里从「没有未知」到「全知」的那一步不该用。

菲奇因此愿意把结果写成定理，而不是写成与说谎者、罗素式集合并列的语义爆炸。他分析的是价值算子的闭合。读者不必立刻同意「这只是定理、不是悖论」。需要先看清印本的锋刃：塌方依赖那三块砖同时在场；少一块，全知不必跟着来。后来的文献正是在拆砖，而不是在否认一九六三年印过这些步骤。

钉住什么，不要假装已经结算#

把两造写成「菲奇算对了、验证主义已死」，会把对象说成一九六三年已经封卷。文献里没有这种结算。菲奇索引的是：在合取分配与事实性之下，未知的真不可知；再叠加无限制的可知性，就得到全知。后来的作者索引的是另一句更窄的可知性：并非每一个真理、而是某一类「基本」或「可一致地被知道」的命题，才被允许写上 \(\Diamond K\)。跨过索引去宣布「悖论已被消灭」或「反实在论永不消灭」，并没有第三个中立的样本空间。

多萝西·埃金顿一九八五年在《心灵》上把实际性算子引进来：可知的不是「在某个可能世界里知道 \(p\)」，而更像「知道 \(p\) 在现实中为真」。尼尔·坦南特则主张，把可知性限制在那些被知道后不自毁的命题上，\(p \land \neg Kp\) 一开始就不在许可名单里。蒂莫西·威廉森既论证直觉主义逻辑并不能把塌方变成无害的弱结论，也在《知识及其限度》里用误差边际说明：某些真命题落在知识的边界之外，本来就不可知。这些都是延伸，不是把一九六三年短文改写成当代认识逻辑教科书。本页只需要停在菲奇已经写死的那一刀上：争论的不是有没有尚未被写入教科书的事实，而是「我可能知道那句『它是真的且不被知道』」能不能当作无限制可知性的实例。前面的盖梯尔、绞刑与睡美人只提醒我们，不知道有许多种；它们仍然没有替第五定理选定「已消解」或「已摧毁验证主义」。

直觉主义这条逃路尤其容易被听成已经和解。在直觉主义逻辑里，否定「存在未知的真」并不自动交出「每一句真话都被知道」这种经典全称。有人因此说：反实在论本就该用直觉主义，塌方只伤害古典验证主义。威廉森一九八二年的短文要堵的正是这扇门的一部分：即使换逻辑，可知性加薄算子仍会逼出难以咽下的全知味道。你不必在本页裁定他是否成功。菲奇的印刷对象是真理类、合取与「能够知道」；后来的直觉主义修补是另一次形式选择。用后者否决前者，或用前者宣布后者已被预防，都是换题。

跨域连接#

• 哥德尔不完备定理：哥德尔句的大意是「本句在本系统中不可证」。可知性条款也像在说「每一句真话都能在某个认知情境里被知道」。两者都把「系统内部够不着」写成对象语言里的句子。差别必须钉死。哥德尔给出的是足够强的算术系统里可构造的不可判定句；菲奇给出的是知道算子在合取与事实性下的归约，并不构造一句算术真理。把第五定理写成不完备定理的知识论通俗版，会把证明论的对象错接成价值算子的闭合。希尔伯特式的「我们必将知道」可以被两条结果从不同方向压住，压力仍不是同一块砖。
• 交互式证明与零知识：零知识证明要让验证者几乎确信命题为真，却学不到可另用的见证。它看起来像「知道真，却仍有未知」。机制对不上。零知识约束的是泄漏：你知道「定理成立」这一比特，同时不掌握证明字符串里的细节。菲奇的 \(q\) 不是「细节尚未泄漏」，而是「\(p\) 为真且 \(p\) 根本不被知道」——连那一比特也被写成未知。把零知识协议写成已经在密码学里实现了未知的真，会把工程上的信息隔离，错接成对 \(\neg Kp\) 的实例。协议预设验证者已经接受了「命题为真」这一知识；第五定理追问的恰恰是这一种知识能否与「仍未知」写在同一张收据上。
• 不确定性原理：海森堡关系限制的是某些共轭量不能被同时精确测定，不是「凡真皆可知」这条语义原则。量子态可以让位置的精确知识排除动量的精确知识，世界仍不必因此变成菲奇意义上的不可知合取。把测不准听成「存在未知所以存在不可知」，会跳过菲奇真正用到的一步：未知本身被当成一个还可被知道的命题。量子限制来自算符不对易与测量公设；菲奇的限制来自 \(K\) 的逻辑闭合。两者都可以叫「有些事情你没法同时知道」，账单完全不同。用实验室里的误差去给第五定理做例证，或用第五定理去给量子测量发哲学判决，都是把物理公设偷运进模态认识逻辑。
• 信息不对称：柠檬市场里，卖方知道车况，买方不知道，价格于是按平均质量结算。这是分配性的未知：同一句关于这辆车的真话，已经被一部分人知道，只是没有被另一部分人知道。菲奇的 \(K\) 一旦读成「有人在某时知道」，卖方的知识已经让该真话不再是未知的真。市场失灵依赖的是谁相对于谁未知，不是「无人能够知道」。把第五定理写成信息经济学已经在二手车里证实了不可知，会把策略性隐瞒错接成逻辑上的不可知合取。信息不对称要解释的是激励与均衡；菲奇要解释的是，无限制的可知性会不会把「仍有未知」这条承认本身吞掉。

参考文献#

• Fitch, Frederic B. "A Logical Analysis of Some Value Concepts." Journal of Symbolic Logic 28, no. 2 (1963): 135–142.
• Hart, W. D. "The Epistemology of Abstract Objects." Proceedings of the Aristotelian Society, Supplementary Volumes 53 (1979): 153–165.
• Edgington, Dorothy. "The Paradox of Knowability." Mind 94, no. 376 (1985): 557–568.
• Williamson, Timothy. "Intuitionism Disproved?" Analysis 42, no. 4 (1982): 203–207.

延伸阅读#

• Salerno, Joe, ed. New Essays on the Knowability Paradox. Oxford: Oxford University Press, 2009.
• Williamson, Timothy. Knowledge and Its Limits. Oxford: Oxford University Press, 2000.
• Tennant, Neil. The Taming of the True. Oxford: Clarendon Press, 1997.
• Brogaard, Berit, and Joe Salerno. "Fitch's Paradox of Knowability." In The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2013.