彩票悖论

这是什么，这不是什么#

这是一则关于足够高的概率是否已经等于可以相信的印刷论证。一九六一年，亨利·E.·凯伯格（Henry E. Kyburg, Jr.）在卫斯理大学出版社印出《概率与理性信念的逻辑》（Probability and the Logic of Rational Belief）。对象钉在一套公平彩票上：共有 \(n\) 张票，恰有一张中奖。对每一张票 \(i\)，「\(i\) 不中」的概率是 \((n-1)/n\)，可以高到任意接近一。若理性允许你把高过某条低于一的门槛的命题当作相信的对象，你似乎就该相信每一张都不中。把这些「不中」合取起来，得到「没有一张中」；你同时又相信这是一场公平抽奖，必有一张会中。年份钉在一九六一年，因为那是这套装置第一次被写成书里的理性信念逻辑。对象钉在门槛、单票与合取，不钉在后来课堂里被改写成「别买彩票」的劝告。

它不是序言悖论。戴维·C.·梅金森一九六五年在《分析》里要压的是一位认真作者：对每一章都有经过核验的具体证据，因而相信每一条；同一人又根据人类易错的归纳，相信书中仍有错误。邻居关系是真的，对象不是同一个。彩票上每一张票的「不中」几乎只有同一条统计理由，票与票同质；序言里每一章带着自己的文献、计算或观察，理由异质。「必有一张中」在彩票里几乎是模型里的公理；「书中有错」在序言里是归纳，不是抽奖规则。梅金森把凯伯格写成邻居。本页把邻居关系反过来用：序言只作对照，不把三页短文改写成对象。

它不是盖梯尔问题。盖梯尔一九六三年追问：得到证成的真信念是否已经够格叫知识。压力在证成与真理之间的运气。彩票甚至不必让任何一张「不中」为真之后再问它算不算知识。你可以先停在信念层：高概率是否许可你相信。后来有人把「这张票会不中」写成彩票命题，追问高度可能的真信念为何仍不像知识。那是后加的刀，不是一九六一年的封面。

它不是菲奇可知性悖论。菲奇从「凡真皆可知」推出「凡真皆已知」，压力在知道算子对合取的分配与事实性。彩票几乎不谈「能够被知道」。它谈的是已经进入信念盒的命题：你相信每一张不中，同时相信并非全部不中。菲奇的刀切在「可能知道」会不会塌成全知；凯伯格的刀切在「分别接受」会不会在合取下炸开。用第五定理去给彩票发答案，是换题。

它不是出乎意料的绞刑。蒯因一九五三年要压的是一条含「你事先不知道是哪一天」的公告，当事人能不能从最后一天往回删格。自我指涉写在预告和日历上。彩票里没有日期格子，也没有「你会吃惊」条款。缺的不是标签，而是对每一张的相信如何与「恰有一张中」同时算作理性。用反向归纳去解彩票，是把知识归属错接成合取闭合。

它也不是卡夫卡毒素谜题。卡夫卡一九八三年卡住的是意向：今夜要意向于去做一件次日将无理由去做的事。彩票不核验意向。你不必打算去撕掉任何一张票，才能相信它不中。本页的对象是相信，不是打算。

它更不是购彩指南，也不是把信念修正写成封面的 AGM 教科书。公平抽奖在这里只是一台纸上的概率装置，不教人如何选号。一九八五年的修正函数处理理论如何收缩与修订，是另一套印刷对象。用它宣布一九六一年已经消解，或用知识概述页上的配方把彩票写成「知识是什么」的封面，都是换题。知识可以作邻居，本页不把它的总论改写成对象。

破除误解#

第二种读法是：这就是盖梯尔，只是把运气换成了抽奖。盖梯尔的人拥有真信念与当时看起来够用的证成，直觉仍不肯把那一票叫作知识。彩票可以在知识尚未入场时就已经发生。即使你愿意把每一张「不中」都叫作得到证成的真信念，合取与「必有一张中」仍然撞车。后来的「彩票命题不是知识」是一刀合法的延伸；把它写成一九六一年已经在做盖梯尔，则把年份焊错。

第三种读法是：这就是序言，只是把章节换成了票根。邻居关系是真的，对象不是同一个。彩票的理由同质，都是同一条统计；序言正文的理由异质，各章各有证据。彩票有一条已知为真的背景事实「恰有一张中」；序言里「有错」是归纳，不是抽奖规则。莎伦·瑞安后来主张两者应当分开处理。詹姆斯·霍索恩与吕克·博文斯后来用同一套信念逻辑把两者放在一张桌上。你可以加入其中一边。不能把本页直接写成梅金森专论。对照必须停在分类上：同质的统计票，对异质的有证据章节。

第四种读法最像处世劝告：把门槛再抬高一点，悖论就没了。这句话漏掉了锋刃。对任意固定的、低于一的门槛 \(t\)，只要票数 \(n\) 足够大，单票不中的概率就会越过 \(t\)。你可以把 \(t\) 写成 \(0.99\) 或 \(0.999999\)，装置只要求你加票。若把门槛抬到一，只有概率为一的命题才可相信，归纳一起出局。没有先写出「门槛低于一」与「合取仍要缴税」，任何「再谨慎一点」都还没有对象。

印本里的装置#

装置可以完全当作纸上的三句话来读。第一句：这是一场公平抽奖，\(n\) 张票，恰有一张中奖。第二句：对每一张票 \(i\)，命题 \(Li\)（「票 \(i\) 不中」）的概率是 \((n-1)/n\)。第三句：存在一条低于一的接受门槛 \(t\)，凡概率不低于 \(t\) 的命题，理性主体可以把它当作相信的对象。取 \(n\) 足够大，使 \((n-1)/n \ge t\)。于是对每一个 \(i\)，你都可以相信 \(Li\)。把这些相信合取，得到 \(L1 \land L2 \land \cdots \land L_n\)，亦即没有任何一张中奖。这与第一句直接冲突。纸面装置到此为止。它不规定如何售票、如何开奖、如何监管奖池。那些会把思想实验误写成博彩流程。

需要钉死的只有四件事。第一，抽奖是公平的，「恰有一张中」不是猜测。第二，每一张的赋值来自同一条统计，没有内幕让某张票特殊。第三，门槛 \(t\) 严格小于一，否则经验世界里几乎没有可相信的命题。第四，合取原则在场：若你相信 \(A\) 并且相信 \(B\)，你就相信 \(A \land B\)。少一条，悖论感就卸掉。四条同时在场，才出现后来被反复引用的对照：对每一张都可以有极高的理由说「不中」，却付不出「全部不中」这一张总票。信念的合取可以齐备，合取的信念却与公平抽奖打架。

这条门槛规则后来被理查德·福利叫作洛克论题：一个命题可以被理性地相信，当且仅当它对主体而言足够可能；「足够」落在零点五与一之间的某条线上。一九六一年的书还没有用这个后来的名字。凯伯格要压的是接受规则：数字出来之后，哪些句子可以进入定性的信念集合。洛克论题是后人给这条门槛起的索引名。把它写回洛克《人类理解论》里的同意等级，会把索引错认成印本。本页只需要这句：低于一的门槛，加上合取，会把公平彩票压成不一致。

为什么两造都可以像有理#

先看每一张票。你对 \(L_i\) 的相信，不是对「随机抽一张几乎为真」的迷信。它就是模型给的频率。一张票面对一百万分之一的中奖率，反对者很难指责你轻信「它不中」。再看公平抽奖那一句。规则写明恰有一张中；若你连这句都不接受，你就不是在讨论这场抽奖。两造各自看起来无可指摘。悖论感来自它们在集合上撞车，不来自任何一条单独看起来荒唐。

合取原则一旦上场，撞车就被写成矛盾信念。你将被迫相信「全部不中」，同时又相信「并非全部不中」。于是你不只是「信念太多」，而是已经相信一个矛盾。拒绝合取原则，则你可以逐张相信「不中」，同时不相信总合取，因而也不必直接吞下一句矛盾。你的信念集合仍装不下全部成员的共真：因为若每一张都不中，「恰有一张中」为假。可「集合装不下」与「相信矛盾句」被重新分开。凯伯格的诊断靠近这一刀：要求被接受的句子在合取下封闭，在对象很多时过强；过强的要求会把一个按门槛行事的人判成不理性。

这条路线很少另起炉灶。它用的是概率论已经给出的数字，而不是新造一套关于运气的心理学。它没有宣布抽奖不该举行，也没有宣布你不该对单票赋值。它宣布的是：在合取原则下，门槛美德变成不一致；若要保住门槛，合取就不能当作理性的无条件税则。反对者若只攻击「哪有人真相信自己那张不中」，并没有打到这一刀。设定可以让单票不中的概率任意接近一，而不让任何指定的票被事先写成中奖。反对者必须说明：为何不该相信单张，或为何不该相信公平抽奖，或为何合取仍该把整摞压成一句矛盾。

邻居是序言，对象仍是彩票#

梅金森的作者对每一条都有具体证据，又在序言里写下「并非全真」。形式轮廓与彩票相近：对每个成员的相信，加上对「并非全部」的相信。分享轮廓不等于同一对象。差别至少有三处，必须对着写，而不能把序言页重写一遍。第一，彩票的理由同质，都是同一条统计；序言正文的理由异质，各章各有文献、计算或观察。第二，彩票有一条几乎作为公理的背景事实「恰有一张中」；序言里「有错」来自关于人类易错的归纳，没有任何一章被事先点名为假。第三，彩票几乎是为门槛规则量身裁的：数字已经写在票面上。序言也能被改写成置信度故事，可梅金森首先要的是定性的相信，不是已经换算好的独立同分布。

后来有人主张两者是同一裂缝的两个开口，也有人主张只有彩票该用概率处理、序言该用证据处理。瑞安一九九一年要求读者不要把票根直接贴到章节上。霍索恩与博文斯一九九九年则把两者放在同一张信念逻辑的桌上。本页只需要停在分类上：梅金森是邻居，一九六五年那三页不是本页的印刷对象。用谦虚的作者去给一百万张票发标准答案，等于把邻居的房子认成门牌。对照可以继续用，改写不行。

钉住什么，不要假装已经结算#

把两造写成「凯伯格算对了、理性信念从此不必合取」，会把对象说成一九六一年已经封卷。文献里没有这种结算。一九六一年的索引是：门槛接受与公平抽奖可以各自有理；合取原则会把它们压成矛盾；因此合取闭合作为接受税则过强。后来的作者索引的是另几句，必须标成后来，不能写回那本书的目录。

一条刀是否认合取闭合。你可以逐张接受「不中」，拒绝接受它们的总合取。集合仍紧张，矛盾句尚未入场。凯伯格自己的接受理论靠近这里：被接受的句子不必在合取下封闭。代价是信念盒不再像一份对推论封闭的理论。反对者会问，若两句都信、合取却不信，你还算不算在使用「并且」。

一条刀是否认洛克论题的充分性。高概率是一回事，定性的相信是另一回事。「这张不中」可以有 \(0.999999\) 的置信度，而不被放进信念盒。吉尔伯特·哈曼后来主张：单凭这种统计理由，你不该推出「票 \(i\) 不中」作为已经兑现的信念。置信度可以留下，定性相信退场。代价是门槛不再把高概率自动兑换成相信。

一条刀把彩票命题从知识里开除。即使某张票后来确实未中，即使当时的赋值完全正确，许多人仍不肯说你当时「知道」它不中。你没有把这张票从其余票里分辨出来，只是站在同一条统计上。丹娜·内尔金与约翰·霍索恩后来把这类句子叫作彩票命题：高度可能、即便为真也不像知识。压力改道到知识对纯粹统计理由是否关门。这与盖梯尔相邻，仍不是盖梯尔的两则反例。

霍索恩与博文斯把序言与彩票写成同一套信念逻辑里的两个测试件。福利从自我中心的合理性入手：对这位持票人、以他现有的赋值而论，逐张「不中」可以过关；要求信念集像完成的理论那样无矛盾，是把上帝视角错当成有限主体的义务。这些都是延伸。印本只把账单摊开：门槛、单票、合取、公平抽奖，四条不能按最省事的方式同时收下。本页停在已经写死的那一刀上：争论的不是人会不会去买彩票，而是高过门槛的概率与定性的相信是不是同一笔账。

跨域连接#

• 序言悖论：两边都是「对每个成员相信，加上并非全部」。账单却不是同一张。彩票的票同质，理由是同一条统计，「恰有一张中」写在规则里。序言的章节异质，各有证据，「有错」来自易错的归纳。用作者的谦虚去给门槛发标准答案，或用一百万张票去给三页序言封卷，都是把邻居认成门牌。对照要的是分类，不是把两页焊成一页。
• 盖梯尔问题：两则都把「看起来已经够用的理性状态」拆开。盖梯尔的人可以满足证成、真理与信念，仍缺知识。彩票的人甚至不必声称知识：门槛下的逐张相信加上公平抽奖，作为集合仍不能共真。后来把「这张不中」写成不是知识，是相邻的延伸，不是用福特车去给一九六一年发反例。配方缺哪一味，解释不了合取税则该不该收。
• 知识：若知识蕴含信念且对合取闭合，知道每一张不中似乎就该知道没有一张中，公平抽奖立刻变成对知识闭合的压力。本页的对象首先是接受与相信。你可以读成持票人并不知道任何一张不中；也可以读成连知识也拒绝纯统计的彩票命题。两种都是后来的加码。把彩票写成已经证明无人拥有关于未来的知识，是把接受规则错接成怀疑论。
• 认识论：传统图像把理性主体画成一份无矛盾、对推论封闭的清单。彩票写出代价：干净可能要求你放弃门槛，或放弃合取，或放弃把公平抽奖写进背景。后来把定性信念与置信度分层，是对同一刀的反应，不是一九六一年的结论。若「理性即一致且闭合」，按门槛行事的人被开除；若「理性即高概率」，「相信」又被改写成尚未自动等于定性信念的数字。
• 概率论：单票概率 \((n-1)/n\) 可以任意接近一，合取「全部不中」的概率却是零，因为公平抽奖里这事件不会发生。门槛低于一时，数字允许你对每一张都跨线，而不允许你对总合取跨线。「高」不能在合取下无限制传递。概率演算在这里没有算错；算错的是把跨门槛的那一步，当成已经对合取封闭的相信。柯尔莫哥洛夫的测度管数字；凯伯格要问的是数字何时可以兑现成信念。

参考文献#

• Kyburg, Henry E., Jr. Probability and the Logic of Rational Belief. Middletown, CT: Wesleyan University Press, 1961.
• Makinson, D. C. "The Paradox of the Preface." Analysis 25, no. 6 (1965): 205–207. doi: 10.1093/analys/25.6.205.
• Harman, Gilbert. Change in View: Principles of Reasoning. Cambridge, MA: MIT Press, 1986.
• Hawthorne, James, and Luc Bovens. "The Preface, the Lottery, and the Logic of Belief." Mind 108, no. 430 (1999): 241–264.

延伸阅读#

• Foley, Richard. Working Without a Net: A Study of Egocentric Epistemology. New York: Oxford University Press, 1993.
• Nelkin, Dana K. "The Lottery Paradox, Knowledge, and Rationality." Philosophical Review 109, no. 3 (2000): 373–409.
• Hawthorne, John. Knowledge and Lotteries. Oxford: Oxford University Press, 2004.
• Christensen, David. Putting Logic in Its Place: Formal Constraints on Rational Belief. Oxford: Oxford University Press, 2004.