曼德博 vs 茱莉亚：分形的两种视角

对话背景#

这场对谈在时间上不能发生。

加斯顿·茱莉亚（Gaston Julia, 1893–1978）于 1978 年 3 月 19 日在巴黎去世。贝努瓦·曼德博（Benoît Mandelbrot, 1924–2010）把二次族的参数图画清楚，是 1980 年 3 月 1 日在 IBM 沃森研究中心的事。茱莉亚不可能对图形界面、伪彩色或后来的屏幕发表意见。下面把他的台词限制在 1918 年前后他实际写下的对象：有理函数的迭代、正规族、连通与完全不连通。1980 年以后的图像、命名与应用，只由曼德博或叙述说明。

茱莉亚 1893 年生于法属阿尔及利亚的西迪贝勒阿巴斯。1915 年 1 月 25 日，他在贵妇小径战役中面部中弹，失去鼻子，此后终身戴皮革面罩。1918 年，他在《纯粹与应用数学杂志》发表《有理函数迭代的长文》（Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles），第 8 辑第 1 卷，第 47–245 页，近两百页，无一张图。同年他获得法国科学院数学科学大奖。皮埃尔·法图（Pierre Fatou）自 1906 年起已在做同一问题，1917 年在《科学院通报》发表短注；法图未参赛，大奖归了茱莉亚。后人称“茱莉亚集合”，部分是法图去世后命名习惯的结果；法图集合是迭代构成正规族的最大开集，茱莉亚集合是它的补集。

曼德博 1924 年生于华沙，后入法国，1958 年起在 IBM 沃森中心工作。他的叔父佐勒姆·曼德尔布罗伊特（Szolem Mandelbrojt）与茱莉亚同代；曼德博本人在综合工科学校听过茱莉亚的微分几何课。1975 年他在法文书《分形对象》里从拉丁语 fractus 造了“分形”一词；1982 年英文扩充本《自然界的分形几何》才把海岸线、云和山脉写成可被引用的口号。参数平面上后来被称为曼德博集合的对象，罗伯特·布鲁克斯与彼得·马特尔斯基在 1978 年斯托尼布鲁克会议的克莱因群研究中已经画出（论文 1981 年才印出）。系统的复动力研究，要等到阿德里安·杜阿迪与约翰·哈巴德 1982 年证明该集合连通，并把它命名为曼德博集合。

第一幕：迭代与分形#

茱莉亚：曼德博先生，您后来那张参数图，用的仍是我 1918 年写过的映射。固定一个复数 $c$，看 $f(z)=z^2+c$。从 $z_0$ 出发，$z_{n+1}=z_n^2+c$。我问的是：哪些起点让轨道保持有界，哪些逃向无穷，边界上的点如何排列。

曼德博：优先权我承认。您的长文是单复变动力系统的奠基文献之一。法图几乎同时到达。我没有假装自己发明了迭代。

茱莉亚：法图 1917 年 5 月的短注比我的长文早。他用蒙泰尔的正规族，把平面分成“迭代表现一致”的开区域和“不规则”的边界。我 1917 年 12 月写信给科学院，要求开启我事先存放的密封袋，因为法图宣布的若干结论已在我的袋中。1918 年 12 月 2 日，大奖发给我。法图没有报名。评委会的报告几乎写明：若他也参赛，奖金本该对分。后来的命名把边界叫成我的集合，把正规区域叫成他的集合。这不是我一个人的定理。

曼德博：战后的法国数学把注意力转到集合论、泛函分析和代数拓扑。您的迭代被放进图书馆。我叔父曼德尔布罗伊特还讲过您和法图的故事。我二十出头读到那篇长文，当时没有机器能把您写的边界画出来。

茱莉亚：我是军官，在战场上把脸打掉了。论文是在多次手术之间写的。战争不是遗忘的唯一原因。题目本身难：没有正规族，连“边界在哪里”都说不清。蒙泰尔的工具是钥匙，不是插图。

曼德博：1970 年代我在 IBM 用机器重做 $z\mapsto z^2+c$。那不是图形界面，是研究中心里的计算与绘图设备。1978 年您已经不在了。我不能把后来屏幕上的颜色说成您见过的东西。

第二幕：茱莉亚集合#

茱莉亚：让我把定义说准确。对固定的 $c$，填充茱莉亚集合是那些轨道保持有界的起点 $z_0$ 的集合。茱莉亚集合是它的边界；等价地，是法图集合的补集。法图集合上，迭代构成正规族：一小块起点的命运是一起的。边界上则完全相反：任意近的两点，迭代后可以一个留下、一个逃掉。

曼德博：对某些 $c$，这个边界是连通的；对另一些 $c$，它碎成康托尔尘，完全不连通。您和法图都写出了判别法。

茱莉亚：二次多项式有一个有限临界点，就是 $0$。轨道 $0,c,c^2+c,\ldots$ 若保持有界，茱莉亚集合连通；若这条临界轨道逃逸，茱莉亚集合是康托尔集。这是定理，不是图。我的长文里一张图都没有。不是我反对图，是 1918 年的印刷与计算画不出那种边界。

曼德博：胡贝特·克雷默 1920 年代做过极粗的手绘示意。那仍然不是您边界的肖像。我后来用机器画了几千张：固定 $c$，给每个起点涂色，看它多少步才跑出某个大圆。逃逸快的点颜色浅，慢的深，永不逃逸的点涂黑。计算机是新的眼睛。但它看见的，仍是您已经用正规族界定的那条边界。

茱莉亚：眼睛不能代替判定。连通或完全不连通，是拓扑命题。颜色是事后的翻译。

第三幕：曼德博集合#

曼德博：现在换一张图。不再固定 $c$ 去画 $z$ 平面，而是让 $c$ 自己跑遍复平面。曼德博集合——这个名字是杜阿迪与哈巴德后来给的——可以定义为：使 $f(z)=z^2+c$ 的茱莉亚集合连通的那些 $c$。等价地，从 $z=0$ 出发的轨道保持有界的那些 $c$。您和法图已经把判别法写在动力平面上。我做的是把同一条判别法铺成参数平面。

茱莉亚：那么所谓曼德博集合，就是把我的连通性定理编成一份目录。每一个 $c$ 对应一个茱莉亚集合。目录的点说的是“这一本是一整块”，还是“这一本是尘”。

曼德博：正是。1980 年 3 月 1 日我在约克敦海茨第一次得到较清楚的图。主心形线连着一个圆盘，周围挂着无数小芽。放大边界，会出现缩小的、几乎相似却不完全相同的小副本。布鲁克斯与马特尔斯基 1978 年在克莱因群的论文里已经画过这个对象；他们的会议论文 1981 年才印出。您 1978 年春天去世，这些图您都没有见过。

茱莉亚：我不能评论我没见过的图。我能评论的是命题。你们把临界轨道的有界性从“对一个 $c$ 的判定”改成“对所有 $c$ 的集合”。这在概念上并不神秘。神秘的是那个集合的边界有多复杂。1918 年的我无法想象把参数平面画出来以后，目录本身会比任何一本茱莉亚集合更不规则。

曼德博：杜阿迪与哈巴德 1982 年证明它是连通的。他们构造了补集到闭单位圆盘补集的共形同构。我自己一度猜想它是不连通的，因为图上那些小岛看起来不连着主体。证明说明：看起来断开的地方，有无限细的丝连着。图会骗人。您若在场，大概会说：看见图，仍要证明。

茱莉亚：我会那样说。连通性是定理，不是像素。

第四幕：数学之美#

曼德博：定义只有一行：$z\mapsto z^2+c$。结构却在每一个尺度上更换花样。简单规则产生无法用欧几里得语言说完的边界。这是后来被叫作混沌与复杂性的那类洞察。

茱莉亚：美我并不反对。1918 年的大奖要的不是美，是对“同一替换的逐次幂”给出可检查的结论。我的长文是推理。没有图，不是因为我仇恨图像，是因为命题必须在没有图的时候仍然成立。

曼德博：没有图，您的论文沉了半个多世纪。可视化不是装饰。有些结构，人的解析估计先够不到，机器把范围标出来，猜想才长得出来。杜阿迪–哈巴德的连通性证明，是在图已经逼人承认“它大概是一块”之后完成的。

茱莉亚：图可以提出问题。它不能结束问题。若一种“真理”只能被看见、不能被证明，那它还不是我 1918 年所理解的数学。那是图案。图案可以非常好，但它与定理的职责不同。

曼德博：我后来把这种工作叫实验数学。先算、再看、再猜，证明交给能把估计写严的人。豪斯多夫维数、自相似测度，这些语言您的长文里没有。它们是为了给“看起来多皱”一个可算的数字。

茱莉亚：给我一个数字，仍要告诉我它是哪一条定义下的数。否则皱只是形容词。

第五幕：自然中的分形#

曼德博：分形不止存在于复平面。海岸线量得越细越长，云不是球，山不是锥，闪电不走直线。1975 年我用法文写《分形对象》；1982 年的英文《自然界的分形几何》把这句话写在书的门口。您 1978 年去世，后一本书您读不到。我在这里说，不是要您为那本书背书。

茱莉亚：自然界有没有无限可分的边界，我不能替物理学家回答。数学里的茱莉亚集合在每个尺度上都同样不规则。海岸线在沙粒与原子处会换一套规则。把有限几个数量级的自相似写成“自然界的几何”，是模型，不是定理。

曼德博：模型从来不是“真实本身”。有限尺度上的幂律，已经够把粗糙从误差里提出来，变成可测的量。分形几何要管的是粗糙，不是把世界变成一张茱莉亚图。

茱莉亚：若它是近似，就不要说成“真实几何已经换代”。物理定律决定形态。分形是描述。描述有用，不等于它取代了方程。

曼德博：欧几里得也是描述。圆在自然界同样找不到。差别在于：圆的描述丢掉了海岸；分形把丢掉的那截长度重新算进去。

第六幕：严格性与直觉#

茱莉亚：您用机器“发现”的许多性质，当时并没有证明。机器算出一百万个点都没逃逸，不等于轨道有界。有界是无穷语句。任何有限计算都只是证据。

曼德博：我承认。1980 年的图甚至把连通性看错：小岛像是漂着的。杜阿迪与哈巴德把连通性证出来以后，实验才退回它该在的位置——提出问题，而不是结束问题。局部连通性（所谓 MLC）直到我去世都还是未解决问题。图再密，也没有替我们判决。

茱莉亚：那就不要把未证的观察叫成几何学的新公理。猜想可以美，它仍是猜想。1918 年的大奖评的是能写进《纯粹与应用数学杂志》的论证，不是能挂在实验室墙上的图纸。

曼德博：实验数学的价值是改变提问的顺序。没有参数平面的图，很少有人会去证那块集合连通。图不是证明，但它决定了哪一条定理值得投入十年。复动力在沉睡六十年后被叫醒，不是因为 1918 年的推理突然变了，是因为机器让目录变得可见。

茱莉亚：可见之后，仍须回到正规族、共形映射和估计。否则醒来的只是一种新的博物学。

第七幕：遗产#

茱莉亚：那么名字怎么分配？边界叫茱莉亚，目录叫曼德博。法图几乎被从口语里挤出去。这公平吗？

曼德博：数学史经常不公平。法图 1929 年去世。大奖、战争伤残的象征位置、以及法图未参赛，都参与了后来的命名。我把参数集合叫作对您工作的目录，并不抹掉法图。每一个学复动力的人，必须同时念这两个名字。

茱莉亚：我要的不是独占边界。我要的是：不要把 1918 年的推理说成只是后来那些图的脚注。没有正规族，就没有边界的定义。没有临界轨道的判别法，您的目录没有条目可写。

曼德博：这一点我可以写进任何序言。我的贡献是把参数平面变成可以看、可以猜、可以交给分析学家去证的对象，以及把“粗糙”从病态例子改写成一种几何。分形这个词是我造的。造词不是造定理。连通性定理是杜阿迪与哈巴德的。您的长文是源头之一，不是唯一源头。

茱莉亚：源头有两处。法图是另一处。若只留一个姓，那是后来的懒惰。

第八幕：分形的未来#

曼德博：您不在的那几十年里，同一套迭代被用到物理、生物、金融和计算机图形。那是应用，不是 1918 年长文的推论。我不会把这些应用塞进您嘴里。

茱莉亚：应用与我无关。我要问的是：分形几何是一门有自己对象与方法的数学，还是复分析、测度论与几何测度论的一组例子？豪斯多夫维数是豪斯多夫 1918–1919 年的工作，与我的长文几乎同年。把维数不必为整数这件事说成新学科，需要的是新问题，不是新形容词。

曼德博：问题是新的。参数平面的组合、小副本的位置、局部连通、以及高维与非全纯的迭代，都不是把旧定理换封面。但它确实必须被严格化。图是入口。入口后面若仍是图，这个领域会变成画廊。

茱莉亚：那就让证明走在画廊前面。我能留给后人的只有这一句：先界定集合，再谈论它的像。

曼德博：我能留给后人的是另一句：有些集合，若不先看见，就没有人会去界定。两句话要一起用。您 1978 年停在第一句。我 1980 年从第二句重新开始。

分析#

两人并不在同一间实验室里争论。茱莉亚的对象是 1918 年的动力平面：固定参数，用正规族切开法图集与茱莉亚集，用临界轨道判决连通或康托尔尘。曼德博的对象是 1980 年的参数平面：把同一条判决铺成一张图，再把图上的粗糙推广到海岸、噪声与山脉。前者是定理传统，后者是实验传统。把后者说成前者的“计算机版”，既低估了参数平面自身的数学，也抹掉了法图。

互补是事后看见的。没有茱莉亚–法图判别法，曼德博集合没有定义。没有参数平面的图，连通性、局部连通与小副本不会成为 1980 年代的问题单。杜阿迪与哈巴德的证明表明：图提出了错误的猜想（不连通），也提出了正确的定理候选（它是一块）。实验会错，这不是反对实验的理由，而是必须证明的理由。

核心分歧#

分歧不在“要不要美”，而在什么东西算理解。茱莉亚认为理解是可检查的推理：没有图，命题仍须成立。曼德博认为有些结构必须先被看见，提问顺序才会改变；证明是第二步，不是第一步。把这说成“形式主义对直觉主义”是用错了二十世纪的标签。直觉主义是布劳威尔关于排中律的立场，与画不画茱莉亚集无关。这里争的是发现的秩序：先证后看，还是先看后证。

当代启示#

计算机辅助证明与数值实验，把茱莉亚的警告和曼德博的程序重新摆上桌。有限计算不能代替无穷语句；没有图，有些无穷语句根本不会被人提起。分形作为自然模型，始终是有限尺度的近似。把它写成“世界的真实几何”，是口号；把它写成测量粗糙的语言，才是可以检验的主张。

延伸思考#

若 1918 年就有 1980 年那种计算，茱莉亚与法图会不会画出参数平面？判别法已经在他们手里，缺的是把 $c$ 当成变量而不是常数的那一步。机器能缩短绘图，不能自动产生该画哪一张图。

连通性已被证明，局部连通性长期未决。最著名的图可以同时是已证定理和未证猜想的封面。把封面当成全书，就会把实验数学误写成已经完成的几何。

延伸阅读：茱莉亚《有理函数迭代的长文》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1918)；法图《论有理替换》(Comptes Rendus, 1917)；曼德博《自然界的分形几何》(1982)；杜阿迪、哈巴德关于曼德博集合连通性的 Orsay 讲义（1980 年代）；米谢勒·奥丹《法图、茱莉亚、蒙泰尔：1918 年数学科学大奖及其后》(2011)