牛顿 vs 莱布尼茨：微积分发明权

对话背景#

这场对谈没有发生过。艾萨克·牛顿（Isaac Newton, 1642–1727）与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716）从未在同一间屋子里把两种算法对质。优先权官司的机构史——皇家学会、通信档案、匿名报告——另有专文。这里只把两种算法摊开：流量与流数，对照微分与积分号。

牛顿在 1665–1666 年瘟疫期间于伍尔索普发展流数法。约 1669 年的《用无穷多项方程的分析》（De analysi）以幂级数做求积，三条规则先写面积、再写项的相加。1670–1671 年的《流数法与无穷级数》把流量、流数、瞬写成一套算法，1736 年才印出。1687 年《原理》几乎不用点记号，第一卷第一节用「最初比与最终比」十一则引理给极限式的几何论证。点记号要到 1690 年代才稳定；公开印刷更晚。

莱布尼茨 1675 年 10 月 29 日的笔记里出现拉长的 S 作为求和；11 月 11 日写下 $dx$、$dy$。1684 年 10 月《学术纪事》上的《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》六页，印出 $d$ 的运算法则。1686 年同刊，《论一种隐秘的几何》把积分号送进印刷。两条路独立长成相似的树。下面争的是：这棵树上的叶子应当叫速度，还是叫微分。

第一幕：两条独立的道路#

牛顿：变量在时间中流动，叫流量。变化率叫流数。位置的流数是速度，速度的流数是加速度。1666 年 10 月的手稿已经在做切线和曲率。点记号 $\dot{x}$ 是后来才钉下来的；更早我用别的字母表示流数，把无穷小时间写成 $o$，把流量的瞬写成流数乘 $o$。

莱布尼茨：我把增量本身写成对象。$dx$、$dy$ 是无穷小增量，切线斜率是它们的比。1675 年巴黎笔记里，特征三角形的直角边就是这两个增量，斜边是弧的无穷小。帕斯卡和巴罗都用过类似的三角形。我做的是：让三角形进入计算，而不是只留在图上。

牛顿：瞬 $o$ 是时间里的一步。没有时间，流数没有意义。运动先在，符号后到。

莱布尼茨：切一条代数曲线，不必有一辆马车。$d$ 作用在写得下来的量上，不管这个量是不是某件物体的坐标。你的流数保持与流量相同的几何量纲，只是多了「对时间」；我的 $d$ 改变无穷的阶，却保持几何量纲——线的微分仍是线，只是无限小。

牛顿：量纲清楚，是因为速度本来就是物理量。把 $dx$ 说成一种线，等于承认世界上有一种既不是零、又不是有限的长度。

莱布尼茨：承认它能参与比例。特征三角形与切线三角形相似，于是 $dy:dx$ 等于纵坐标比次切距。相似是几何，不必先定义「无穷小是哪种实数」。

第二幕：记号的力量#

莱布尼茨：1684 年那六页写下的是算法，不是一篇哲学。常数的微分是零，$d(ax)=a\,dx$，和差、积、商、幂：

$$d(xy)=x\,dy+y\,dx,\qquad d\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y\,dx-x\,dy}{y^{2}}.$$

积的法则今天还叫莱布尼茨法则。展开 $(x+dx)(y+dy)$，丢掉 $dx\,dy$ 这一阶，剩下的就是它。链式法则在这种写法里几乎是约分：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$

约分不是证明，是记号允许的直觉。$\int$ 是求和的 S。$d$ 与 $\int$ 互逆，像差分与求和互逆。

牛顿：记号是外衣。思想是速度。乘积法则我用矩形来说：两边是流量 $x$、$v$，面积 $xv$ 也在流动。让两边各增一半、再各减一半，交叉项相消，瞬里不留下二阶小量。不必先发明一种可以丢掉的 $dx\,dy$。

莱布尼茨：你的几何证明漂亮，迁移成本高。多元、高阶、复合函数，点记号要在字母顶上继续加点，纸上很快挤满。$d^{2}y$、$d^{3}y$ 只是把同一个算子再写一遍。积分写成 $\int y\,dx$，被积表达式里保留了用哪一个量做底。你的求积常常只把纵坐标写在一个方框里，底是哪一根轴，要靠上下文。

牛顿：1690 年代我也用过 $\acute{x}$ 表示以 $x$ 为流数的流量。分析学会后来嘲笑点记号，那是十八世纪英国的教学问题，不是 1665 年的方法问题。《原理》选用几何，是因为我要把论证写成欧几里得读者能跟的形式，不是因为我没有算法。

莱布尼茨：不好传播的算法，在共和国里等于还没成为公共技术。伯努利兄弟、洛必达 1696 年的《无穷小分析》，走的是 $d$ 和 $\int$。欧洲大陆的人是从印刷品学会计算的。

牛顿：沃利斯 1693 年的《代数》才把我的流数印给公众。晚，是选择，不是没有。

第三幕：两种算法是不是同一方法#

牛顿：优先权官司把两套记号说成同一方法的外衣。作为算法，它们确实都处理切线与求积，都知道这两件事互逆。作为运算习惯，并不一样。我的基本未知量是流数比 $\dot{y}/\dot{x}$，时间 $o$ 在中间步骤出现，最后必须消掉。你的基本未知量是微分本身。

莱布尼茨：差分与求和是我从数表、调和三角那边走进来的。特征三角形把差分画回几何。你从运动和幂级数走进来。《分析》三条规则先给 $y=ax^{m/n}$ 的面积，再给逐项求积，再给方程的反转。那是级数的微积分。我 1684 年的论文甚至不大谈级数。同一片土地，两套农具。

牛顿：农具若做出同一块田里的同一类结果，发明权仍有先后。先后是另一篇文章的事。这里我只坚持：流数法在 1660 年代已经能算。

莱布尼茨：能算和能教不是同一件事。六页法则让一个会代数的人立刻动手。点记号绑在时间上，多元函数要先选哪个是时间，或者把所有流量都对同一个参数求导。$d$ 不需要先指定参数。这就是为什么偏微分、全微分后来自然长在我这边。

牛顿：力学里时间已经在。不需要先发明一个没有物理意义的 $dx$。把微积分从运动里拔出来，得到的是符号游戏。

莱布尼茨：符号游戏若可重复，就是新的数学对象。切线、极值、求积，只是第一批应用。概率、代数曲线、后来的变分，不都是行星。

第四幕：严格化的道路#

牛顿：《原理》第一卷第一节引理一：在任意有限时间里不断趋于相等、并且其差可小于任意给定差的量，最终相等。最初比是新生量开始存在时带着的比，最终比是消失量消失时带着的比。我要的不是不可分量，是趋于消失的可分量。高阶项不是被宣布为幽灵，是在极限里不再出现。

莱布尼茨：看起来像欧几里得，地板仍未铺完。「小于任意给定差」已经是极限语言。你仍欠一句：消失的规则是什么，使得丢掉 $o$ 的高次幂合法。贝克莱 1734 年会骂「消失量的鬼魂」——既当零用，又不让它是零。那一骂对着我们两人。

牛顿：数对得上。行星、阻力介质、光学。方法有效，不等于定义已经写严。我后来更愿意把流数比说成增量比的极限，而不是一种驻留的无穷小。

莱布尼茨：我把无穷小说成有用的虚构：不是世界上的一块金子，是计算许可。许可内部不打架，结果就可以用。虚构不是谎言，是还没有对象化的符号。$d$ 与 $\int$ 互逆，比「这个量在自然界里有没有对应物」更要紧。

牛顿：数学若经营虚构，和修辞有何分别？量应当是真实的量。速度是真实的。

莱布尼茨：真实是哲学偏好。形式科学管符号变换是否可重复。你用运动避免无穷小，代价是把时间做成一切变化的唯一底。我用无穷小换来可迁移的算子，代价是对象暂时说不清。两种代价，两种许可证。

第五幕：严格化的完成#

这场对谈跨过两人的寿命。莱布尼茨卒于 1716 年，牛顿卒于 1727 年。下面让后来的分析走进来，不是假装他们活到了二十世纪。

莱布尼茨：十九世纪，柯西把极限写成可用不等式逼近的对象；魏尔斯特拉斯用 $\varepsilon$-$\delta$ 把「任意小」写成全称量词。导数不再是无穷小之比，也不再是流量的流数：

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

你的最终比，被改写成不提鬼魂的语言。

牛顿：这套语言站在我这边。增量要多小可以多小，比有极限，不必承认一种又零又非零的量。点记号在力学草稿里仍方便：$\dot{x}$、$\ddot{x}$ 就是速度和加速度。

莱布尼茨：1960 年代鲁宾逊用模型论给无穷小一个合法位置。超实数里，$dx$ 可以是真正的非零无限小。丢掉 $dx\,dy$，有了可陈述的理由：它是更高阶的无限小。我当年的虚构，有一条路变成对象。

牛顿：对象化不等于极限之路错了。两条路通到同一类定理，说明十七世纪打架的不是对错，是许可证的写法。极限之路少一台逻辑机器；无穷小之路把 $d$ 留在纸面上。

莱布尼茨：许可证会改变能问的问题。$d$ 可以迭代成外形式，$\int$ 可以搬到流形上。点记号在常微分方程的初值问题里仍好用，在把微积分搬到流形、搬到函数空间时吃力。拉格朗日的撇号 $f'(x)$ 是第三条路：既不写 $d$，也不写点，把导数当成新函数。

牛顿：力学草稿正是我要的地方。我发明流数，是为了写运动。你发明 $d$，是为了一种普遍文字。目标不同，工具分叉。分叉之后仍可汇合，不必靠哪一家学会的判决。

第六幕：记号怎样改写了英国分析#

牛顿：十八世纪英国分析慢下来，点记号和民族自尊心绑在一起。这是教学史，不是流数法本身算不出东西。

莱布尼茨：1812 年前后，剑桥的分析学会——巴贝奇、赫歇尔、皮科克——主张改用大陆记号。后来的俏皮话把点记号叫「点的年代」，把 $d$ 叫「$d$ 主义」。改记号，是因为要算的人受不了与欧陆教材对不上，不是因为有人把 1665 年的手稿判无效。

牛顿：洛必达的教科书证明你的记号好教。好教不等于先发明。好教确实决定了十九世纪以后纸上出现的是哪一种微积分。

莱布尼茨：偏导数 $\partial$、全微分、雅可比行列式、斯托克斯公式里的 $d\omega$，都是 $d$ 被当成算子以后长出来的。把 $dy/dx$ 真的看成商，在这些推广里有时有用，有时是隐喻。无论哪一种，点记号都没有提供同等方便的多元语法。

牛顿：物理应用是我的深度。《原理》不是分析教科书，它把变化率变成写自然的语言。没有轨道和力，你的 $d$ 可能停在切线和极值。

莱布尼茨：没有 $d$ 和 $\int$，大陆上那一代分析走不快。深度可以有两种：一种把微积分焊在力学上，一种把微积分做成可迁移的文字。把其中一种叫独占，是优先权官司的习惯。

第七幕：微积分向哪里推广#

牛顿：微积分的前途在方程——把力写成变化率，把变化率再对时间求导。天体、流体、振动，都是流量的流数。

莱布尼茨：前途还有另一侧：从单变量到多变量，从有限维到函数空间，从数到形式。推广会带回新的物理。高维微积分进了电磁学，变分进了力学，无穷维进了后来的场论。应用不是只能从运动直觉里长出来。

牛顿：变分我在《原理》里已经碰到过阻力最小的固体那种问题。发现可以走分析，发表时仍写成几何。选择几何，是为了让证明看起来不像一串被砍掉的项。

莱布尼茨：看起来像欧几里得，教的人仍要会砍项。洛必达把砍项的规则写成教科书。你把砍项藏进引理。两种严格化之前的权宜，后来都被 $\varepsilon$-$\delta$ 收编。

牛顿：收编之后，教学仍要选入口。用速度讲导数，学生懂瞬时；用形式定义讲导数，学生懂证明。两条入口对应我们当年的两个许可证。

莱布尼茨：符号变换更容易写成规则。这不是我「赢了」，是纸上的文字比运动更容易交给后来的形式系统。

第八幕：算法、记号、严格性#

牛顿：发明权可以分成三件，不必合成一句口号。算法谁先会算，记号谁先让别人会算，定义谁后来写严。第一件我不会让。第二件纸面已经判给你。第三件我们两人都没活着看见。

莱布尼茨：同意分开。流数法是更早能工作的算法；$d$ 与 $\int$ 是更早成为公共技术的文字；$\varepsilon$-$\delta$ 和超实数是两种事后补上的地板。把其中一件叫「唯一发明」，是在偷换计时标准。

牛顿：我恨的是把「看见过英国人的级数」说成「抽出了流数术」。独立发现要求后到的人自己走完路。路是否走完，要看算法，不能只看通信日期。

莱布尼茨：算法上也走完了：特征三角形、差分与求和、六页法则、积分号。相似的树可以有两条根。光学里的折射也被人独立写过不止一次。

牛顿：树的叶子今天写 $dy/dx$，并不把 1665 年从伍尔索普抹掉。力学课上仍在写 $\dot{x}$。两种叶子可以长在同一门微积分上。

莱布尼茨：同一门课里，入口仍在分流。用运动引入，是你的许可证；用微分形式引入，是我的许可证。严格性是后来才共用的地板。地板铺完之后，优先权官司仍会再来，只是换一批人名。算法需要的是能算、能教、能查，不是一尊唯一的英雄。

分析#

牛顿与莱布尼茨的分歧，数学上有三层，不宜收成「谁先发明」。第一层是对象：流数是对时间的变化率，微分是可参与比例的无穷小增量。第二层是记号：点记号贴近力学草稿，却缺少多元语法；$d$ 与 $\int$ 把链式法则、换元、高阶形式写成可印刷的文字。第三层是许可证：最初比与最终比走向极限；有用的虚构走向后来的非标准分析。柯西—魏尔斯特拉斯与鲁宾逊并没有把其中一人判错，只是给两种许可证补了两本不同的执照。

历史的裁决因此可以同时成立：牛顿更早得到可工作的算法；莱布尼茨更早把算法变成公共技术；现代分析课上的符号主要是莱布尼茨的，力学草稿里的点记号并未消失。英国十八世纪的落后，更多是记号与教学的路径依赖，而不是流数法本身无效。

核心分歧#

微积分是描述物理运动的语言，还是独立于物理的形式系统？牛顿把变化率绑在时间与速度上，积分是面积与累积，严格性通过「最终比」避免驻留的无穷小。莱布尼茨把 $d$ 做成可迭代的算子，积分是求和的逆，无穷小是计算许可。这一分歧至今仍在教学里回响：用瞬时速度引入导数，还是用极限定义引入，不是修辞爱好，是十七世纪两套对象观的现代残响。

当代启示#

莱布尼茨记号在微分几何、外代数、计算机代数里完全胜出，因为这些领域需要可迁移的算子，而不是一条特选的时间轴。牛顿的物理直觉并未过时：常微分方程、经典力学、控制理论仍以流量的流数为日常语言。非标准分析证明无穷小可以对象化；主流分析课仍教 $\varepsilon$-$\delta$。选择哪一种地板，取决于要迁移到哪一类问题，而不是再开一次优先权法庭。

延伸思考#

• 若分析课用超实数而不是 $\varepsilon$-$\delta$ 做第一地板，链式法则和全微分是否会更容易成为严格定理，而不是启发式约分？
• 点记号在常微分方程里的效率，是否说明「更好的记号」取决于问题的维数与参数个数？
• 计算机代数更擅长莱布尼茨式的符号操作——这是否只说明机器更接近纸，而不说明运动直觉在发现定理时已经过时？

延伸阅读：牛顿《自然哲学的数学原理》(1687)、《曲线求积术》（1704，《光学》附录）；莱布尼茨《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》(1684)；洛必达《无穷小分析》(1696)；鲁宾逊《非标准分析》(1966)；卡尔·波耶《微积分概念史》(1949)