诺特 vs 爱因斯坦：对称性与守恒律

对话背景#

艾米·诺特（Amalie Emmy Noether, 1882–1935）1882 年 3 月 23 日生于埃尔朗根。1915 年春，大卫·希尔伯特与菲利克斯·克莱因请她到哥廷根，要她用不变式论帮他们读爱因斯坦刚写出的引力理论。普鲁士当时的法令不允许女性取得大学授课资格。她在 1915–1919 年只能以希尔伯特的名义开课。1918 年 7 月 23 日，她在哥廷根数学学会报告《不变变分问题》（Invariante Variationsprobleme）；7 月 26 日由克莱因提交哥廷根科学协会，年底刊于协会通讯。这篇短文含两条定理，不是一条。1919 年 6 月，魏玛时期法令松动后，她才通过授课资格答辩。

阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein, 1879–1955）1915 年 11 月完成广义相对论场方程。弯曲时空里能量能否局部定义、希尔伯特的「能量定理」与他自己的引力赝张量是不是一回事，成了 1916–1918 年柏林与哥廷根之间的通信主题。1916 年 5 月希尔伯特写信告诉他：这类分析问题他已交给诺特。1918 年 5 月 24 日，爱因斯坦就诺特寄来的不变式论文写信给希尔伯特；同年 12 月 27 日又写信给克莱因，认为拒绝给她授课资格是不公正。

两人没有留下面对面长谈的可靠记录。下面的对谈是一场舞台化的合读，把 1916–1918 年的通信与 1918 年那篇论文压到同一张桌子上。1933 年解职只在第七幕作为她本人尚能开口的事实出现。她 1935 年 4 月 14 日在布林莫尔去世；爱因斯坦 5 月 1 日从普林斯顿写给《纽约时报》的那封信，放在分析里，不放进她的对白。粒子物理后来的规范群与自发破缺，同样不写进 1918 年的台词。

第一幕：两条定理，不是一条#

诺特：爱因斯坦先生，我证明的不是一句口号。变分积分若在一个有限连续群——有限个参数的李群——下不变，拉格朗日表达式就有相应的散度关系；反过来也对。时间平移给出能量，空间平移给出动量，转动给出角动量。这是第一条。群若依赖于任意函数及其导数——无限连续群——得到的不是寻常守恒律，而是场方程之间的恒等关系。这是第二条。广义协变属于第二种。

爱因斯坦：物理学家会把第一条记成「对称性对应守恒律」。第二条听起来像在说：我最看重的那种协变性，恰恰不给出我最看重的那种守恒。

诺特：希尔伯特 1918 年初断言：在广义相对论里「根本不存在真正的能量方程」，也就是没有正当的守恒律；他还说这是广义相对论特有的。我把这句话改写成群论版本。关键不是「相对论」这个词，是不变群的类型。有限参数群的子群若埋在一个无限群里，从子群读出来的守恒律会变成恒等，不再是运动方程的非平凡推论。

爱因斯坦：我 1918 年 3 月写信给克莱因，说我不认为他对我的守恒律表述的批评恰当。我仍然有积分守恒量。渐近平坦时，它们表现得像普通的能量与动量。

诺特：您有的是带超势的恒等式安排。散度可以恒等于零，不必用场方程。希尔伯特要我核对的，正是这一点：他写的能量分量，以及您写的，都能被改写成这种恒等散度。恒等不是无意义，它的物理身份与第一条定理给出的「真正守恒」不同。身份不同，不等于您的理论因此破产。

第二幕：弯曲时空里的能量#

爱因斯坦：困难仍在。引力场的能量不能被钉在空间的一个点上。我用赝张量把引力的贡献写进去，坐标一换，分量就换。局部能量似乎没有坐标无关的意义。若连这一点都守不住，守恒还是不是物理学的基石？

诺特：基石要标明它靠哪一种对称性站住。狭义相对论有全局的庞加莱对称，所以有全局的能量–动量。广义相对论把坐标变换放大成任意函数，全局时间平移一般不存在。没有这种对称，就没有第一条定理意义上的能量守恒。渐近平坦、有基灵矢量、或者只看孤立系统的总积分——那些是把无限群重新削出有限子群的特殊情形。特殊情形可以有守恒量。一般情形没有理由索取同一句话。

爱因斯坦：削出来的积分对我已经够用。物理要的是能写进天体力学的账。账在无穷远处能结，我就承认能量还在。

诺特：无穷远处能结，是边界条件在帮忙，不是广义协变本身在发守恒律。第二条定理说明：协变越彻底，场方程之间的依赖越多，独立的守恒内容越少。这不是缺陷清单，是群的算术。

爱因斯坦：我听得懂算术。我仍要一个能叫做「引力场能量」的东西，哪怕它只在特定坐标系里好看。没有这个东西，等效原理与牛顿极限之间的账不好讲。

诺特：您可以保留赝张量作为计算装置。装置的变换性质必须写进说明书：它不是张量，所以「这一点的引力能量」不是一个几何量。说明书写清楚，装置不必扔掉。

第三幕：对称性是原因还是结果#

爱因斯坦：更深的一层：对称性是物理定律的原因，还是我们事后在定律上读到的性质？1905 年我从相对性原理与光速不变往下推运动学。那一次，对称性像是先到的。牛顿方程却是先写出，对称性后被看见。

诺特：两条路都有。作为数学，我只问作用量在什么群下不变，以及不变推出什么恒等式或散度。群可以是发现定律时的约束，也可以是写完定律后的诊断。诊断与约束是同一套形式，解释权在物理学家。

爱因斯坦：我希望解释权留在物理直觉。数学把已经猜到的结构写清楚，极有价值。让群去「决定」自然应当是什么样子，我担心把方便当成必然。

诺特：群不决定自然。群决定：若你要求作用量这样变，你就必须接受这样的守恒或这样的恒等。接受之后，自然仍可能选择另一个作用量。我的定理是条件句，不是宇宙立法。

爱因斯坦：条件句我接受。立法感来自后来的风气：先写下一个漂亮的群，再问自然是否肯住进去。1918 年我们还没有走到那一步。我只是预先不喜欢那一步。

第四幕：作为工具的对称性#

诺特：对称性首先是简化装置。球对称把场方程里的自变量砍到只剩径向。您 1916 年的史瓦西解靠的就是这种砍法。

爱因斯坦：砍法我用得很勤。没有对称性假设，场方程几乎动不了。可我仍把对称当成解题时的脚手架，不是楼本身。楼是时空几何与物质分布的关系。

诺特：脚手架往往就是楼的承重墙。对称群一旦固定，守恒量、简并、许可的运动都跟着固定。这不是辅助，是对象的骨架。

爱因斯坦：骨架若与观察冲突，必须能被拆。自然不必处处对称。我不知道弱过程将来会怎样，只知道：把「必须对称」写成教条，会让反例没有入口。

诺特：定理给的是「若不变，则守恒或恒等」。逆命题在第一条里也成立，针对的是作用量的变分对称，不是针对世界必须长成对称的。解可以比方程对称性更低——基态不必继承拉格朗日量的全部对称。这种「破缺」在数学上并不神秘，它只是解的稳定化选择。不必把它说成自然在嘲笑对称。

第五幕：数学与物理的分工#

爱因斯坦：您把变分问题写成群论。这是我做不到的那种清楚。1918 年 5 月 24 日我写信给希尔伯特：昨天收到诺特小姐一篇关于不变式构造的极有意思的论文；能从如此一般的观点看这些事，令我钦佩；哥廷根那些穿野战灰的人，若被送去听她的课，不会有坏处；她看来精通本行。信是真的。夸奖的是一般性，不是一句社交辞令。

诺特：一般性是我的本职。您的引力理论是物理直觉在前面拖着数学走：没有黎曼几何，场方程写不出来。我是数学结构在后面追：你们已经在用的不变性，究竟强制了什么。

爱因斯坦：次序对我很重要。直觉先到，数学后到。数学是工具。物理学的目标是理解自然，不是把自然变成群的例子。

诺特：结构有自己的生命。哪怕暂时没有物理应用，环与理想仍然值得研究。1918 年这篇变分论文在我自己的工作里几乎是旁支。旁支可以比主干更早被物理学家记住。这改变不了：我认的主干是代数。

爱因斯坦：旁支已经足够改写我对「守恒」一词的用法。我仍坚持：改写之后，账还得能在实验室与天文观测里结。结账的责任在物理。

第六幕：代数与几何#

诺特：让我把主干说清楚。环上的理想、模、同态，处理的是运算关系，不必先画曲线。代数几何里的多项式零点集，可以用理想来读。高维、非交换，眼睛看不过来的时候，关系仍然写得住。

爱因斯坦：我更信任能看见的东西。弯曲、测地线、光的偏折，是几何图像。把图像换成环的语言，我怕失去判断对错的那种身体感。

诺特：身体感是发现的入口，不是对错的判据。判据是关系是否推得出、是否与已有定理冲突。您在引力里已经接受：三维直观不够用，必须进入四维流形。再往前一步，流形上的函数环会比坐标图表更稳定。这一步您可以不走。数学会走。

爱因斯坦：我不否认抽象能揭示隐藏的同一。我怀疑它能否单独产生新的物理图像。没有图像，我不知道该测量什么。

诺特：产生图像不是代数的义务。代数的义务是：一旦图像被猜到，就把它依赖的关系写到不能再偷运直观为止。1918 年的两条定理，做的就是这件事。

第七幕：授课资格与解职#

诺特：1915 年我申请授课资格，哲学院里的语文学家与历史学家反对。理由公开写在会议里：士兵从前线回来，难道要坐在一个女人脚下听课？希尔伯特的回答也被记下了：候选人的性别不是反对她成为无薪讲师的论据；我们是大学，不是澡堂。课仍然只能开在他的名下。薪水没有。

爱因斯坦：1918 年 12 月 27 日我写信给克莱因：收到诺特小姐的新论文之后，我再次感到，拒绝给她授课资格是极大的不公正。若您认为不能向部里采取有力步骤，我将独自去努力。信里用的是正式用语 venia legendi。那不是 1935 年的悼词，是当年的教职争议。

诺特：1919 年 6 月我才通过答辩。1922 年得到的仍是非公职编外教授头衔，薪金微薄。数学才能不按性别分配。阻碍进入的规则，损失的是学科，不只是个人。

爱因斯坦：1933 年的解职是另一套规则。那一套连「才能」这块遮羞布都不要了。

诺特：四月的《恢复职业公务员法》之后，我被解除哥廷根的教职。同年秋天去宾夕法尼亚的布林莫尔学院，并在普林斯顿高等研究院演讲。普林斯顿仍是一所「不收女性」的男人大学，我自己这样说。能继续讲代数，已经比许多同事幸运。

第八幕：对称性还剩什么#

爱因斯坦：把 1918 年的两条定理放回物理：将来若有更统一的理论，对称性还会是骨架吗？还是会变成某种更深原理的表面？

诺特：我不知道将来的理论叫什么。我知道的是条件句仍然有效。无论作用量写成何种场，有限群给出守恒，无限群给出恒等。您若找到更深的原理，它要么自己带一个群，要么放弃变分。放弃变分，我的定理就不再管辖它。管辖范围以外的事，我不预言。

爱因斯坦：我不放弃变分。场方程从作用量来，是我愿意保留的少数几件东西之一。对称性作为工具，我不会扔。对称性作为「自然必须服从的立法」，我仍保留怀疑。

诺特：立法是修辞。定理是条件句。把条件句当成立法的，是后来的读者，不是 1918 年的证明。

爱因斯坦：那么我们的分歧其实很窄。窄，却会在教科书里被写成两座对立的神庙：一座供奉群，一座供奉直觉。神庙是后人盖的。桌上这几封信要朴素得多。

分析#

1918 年的争论焦点，不是「对称性漂不漂亮」，是广义相对论里的能量方程算不算「真正的」守恒律。希尔伯特与克莱因倾向于：在广义协变理论中，那些散度是恒等，物理身份与经典力学的能量不同。爱因斯坦倾向于：积分守恒量与赝张量仍然够格。诺特的两条定理把这场物理争论翻译成群的类型学，并证明希尔伯特那句未经证明的断言可以成立——成立的理由比「因为广义相对论」更一般。

爱因斯坦对诺特的公开赞词有两处必须分开。1918 年 5 月 24 日致希尔伯特的信，夸的是不变式论文的一般性，并带那句关于「野战灰」的讥讽；据戴森后来的说明，Feldgrauen 指穿野战制服的军人，不是「哥廷根元老」。1918 年 12 月 27 日致克莱因的信，谈的是授课资格。1935 年 5 月 1 日他从普林斯顿写信给《纽约时报》（刊于 5 月 4 日或 5 日，各家目录略有出入），称她为「自女性开始接受高等教育以来最重要的创造性数学天才」。第三句常被提前到 1918 年，时间是错的。她于 1935 年 4 月 14 日在布林莫尔因手术并发症去世，年五十三岁。

核心分歧#

对称性是物理定律的立法，还是作用量被写出之后的诊断？诺特把定理写成条件句，但她的数学习惯是让结构自己说话，物理应用是结构的实例。爱因斯坦把物理直觉放在前面，群是简化与核对的装置，必要时可以拆。能量在广义相对论中的身份，是这一分歧的实验场：他要可结的账，她要标明账是恒等还是守恒。

当代启示#

后来的粒子物理把第一条定理用成日常工具，把规范对称——无限群——用成相互作用的分类法。那是 1918 年之后几十年的发展，不能倒填成诺特在哥廷根已经写完的物理。宇称不守恒、CP 破坏、希格斯机制与标准模型的规范群，属于这条后史：对称性可以是定律的骨架，基态也可以不继承全部骨架。广义相对论的能量问题没有被一条定理「解决掉」，只是被说清楚了它为什么不像牛顿力学。形式清楚之后，物理仍须选择：要局部的赝张量，还是准局部的积分，还是只在有基灵对称时才谈守恒。选择仍是爱因斯坦那一侧的责任。

延伸思考#

• 若 1918 年没有这两条定理，能量在广义相对论中的争论会以何种语言继续？
• 先写群再找作用量，与先写作用量再读群，哪一种更可能把方便当成必然？
• 一条关于对称的定理，在什么意义上属于数学，在什么意义上属于物理？

延伸阅读：诺特《不变变分问题》(Invariante Variationsprobleme, 1918)；爱因斯坦 1918 年 5 月 24 日致希尔伯特、12 月 27 日致克莱因（收入《爱因斯坦全集》第 8 卷）；爱因斯坦致《纽约时报》（1935 年 5 月）；Yvette Kosmann-Schwarzbach《The Noether Theorems》(2011)；Dwight Neuenschwander《Emmy Noether's Wonderful Theorem》(2011)