拉马努金 vs 哈代：直觉与严格

对话背景#

斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan, 1887–1920）与戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877–1947）的合作，集中在 1914 到 1919 年的剑桥。拉马努金 1920 年 4 月 26 日在马德拉斯去世，年三十二。哈代活到 1947 年，来得及写下《一个数学家的辩白》（1940）和《拉马努金：由其生平与工作引出的十二讲》（1940）。1976 年乔治·安德鲁斯在三一学院图书馆从 G. N. 沃森遗稿中找出那叠后来被称为“失落的笔记本”的手稿时，两个人都不在了。下面的对谈以剑桥那五年为主；1920 年以后的事，只由哈代按他生前能见到的文献来说，或放到文末分析。

1913 年 1 月 16 日，拉马努金从马德拉斯给哈代写信。他当时在港务信托会计部做书记，信里写年薪二十英镑，约二十三岁，没有大学学历。附件大约九页公式。哈代起初怀疑是骗局，又看出一部分是已知结果，一部分错，剩下的无法用“编造”解释。2 月 8 日他回信，明确要求看证明。与约翰·李特尔伍德讨论后，他安排拉马努金前来。拉马努金 1914 年抵剑桥，一战期间多半在此度过，与哈代合作论文七篇，自己也另有发表。1918 年 5 月 2 日他当选皇家学会会员，同年 10 月 13 日成为三一学院院员。

哈代在《辩白》里写过：数学家像画家或诗人一样，是模式的创造者。那句话是 1940 年的印刷文字，不是本篇对白的现场录音。本篇若提到 1729，依据的是哈代后来在十二讲里写下的回忆，而不是把病房对话当成此刻正在发生。

第一幕：1913 年的信#

拉马努金：哈代先生，我在马德拉斯把公式写在笔记本里。有些我能证，有些我只能看见它必须成立。我把后者也寄给了您。我不知道欧洲的期刊要证明。

哈代：1913 年 1 月那封信是我收到过的最奇特的邮件。开头是一份自我介绍：港务信托的书记，年薪二十英镑。后面却是积分、无穷级数、连分数。我把结果粗分成三类。一类是已经知道的，或容易从已知定理推出来。一类新而有趣，但近于珍玩。还有一类，若是假的，没有人会有想象力把它们造出来。连分数那几条把我完全打败。我当时的判断是：它们必须是真的——假的话，编不出来。

拉马努金：我不是在编。娜玛吉里女神在梦里把式子给我。我醒来抄下来。我无法用您的语言说明“看见”。

哈代：我不接受女神作为证明。我接受的是：一个没有受过剑桥训练的人，独立写出了模方程、连分数和一批欧洲花了几十年才碰到的恒等式。2 月 8 日我回信，第一件事就是要证明。不是因为我不信你的眼睛，是因为没有证明，我无法判断哪一条属于第三类，哪一条会在边界上裂开。

拉马努金：证明是后来的事。式子先在。

哈代：在剑桥，式子不算完。李特尔伍德和我把信摊开，才决定请你来。请你来，不是请一位先知，是请一位必须学会写证明的同事。

第二幕：严格性的必要#

哈代：你的直觉不是无误的。信里与素数计数有关的若干断言是错的。它们在某种范围内像对，一碰到精细的误差项就垮。没有证明，连“错在哪里”都找不到。

拉马努金：我知道有些式子不干净。我的眼睛会把渐近当成等式。您强迫我把“看起来对”改写成“在什么条件下对”。这是我在剑桥学到的第一件事。

哈代：严格性不是发现的引擎。它是过滤器。过滤器会丢掉一些美丽的错误，也会保住一些看起来过分的真式。你的 $\pi$ 级数若没有后来的核验，只是一张漂亮的纸。

拉马努金：发现仍靠看见。过滤器不能从空白里变出 1103 和 26390。1914 年那篇《模方程与 $\pi$ 的近似》是我在印度就写好的工作，登在《数学季刊》上：

$$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.$$

每一项大约带来八位十进制。我当时没有按欧洲教科书把推导写全。式子先写下来，是因为我看见模方程必须把它给出来。

哈代：看见不是结束。沃森、后来的人把这些级数逐条补证，用的是你当时没有写进正文的椭圆积分与模方程。没有那一层，它只是收敛得很快的猜想。数学期刊不能把猜想印成定理。

拉马努金：费马那条边注也是猜想，它仍然给数论定了三百年的方向。我的式子若是好的，会自己找证明的人。

哈代：方向不是证明。把猜想与定理混为一谈，是对后来者的负债。我愿意替你还一部分债。我不能把债取消。

第三幕：圆法与分拆#

哈代：我们真正并肩写下的，是分拆。$p(n)$ 是把 $n$ 写成正整数之和、不计次序的方法数。$p(5)=7$。看起来是小学生的计数，生成函数却是戴德金 $\eta$ 的近亲。1918 年我们在《伦敦数学会会刊》发表《组合分析中的渐近公式》。主项是

$$p(n)\sim\frac{1}{4n\sqrt{3}}\exp\left(\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}\right).$$

对 $n=200$，这已经与真值相对误差很小。方法是把生成函数放在单位圆附近，按有理点的远近切开弧——后来叫做圆法。

拉马努金：圆法是您把我的渐近眼力翻译成复分析。我在印度就会写生成函数的形状。我不会写围道、奇点和优弧。没有您，那篇 1918 年的文章不会以这种形式存在。

哈代：没有你，我不会去碰 $p(n)$ 的指数主项。李特尔伍德后来说，圆法是你我先用在分拆上，再被他和我转到华林问题。工具是两人的。1919 年你还在《剑桥哲学会会刊》写下同余：$p(5n+4)\equiv 0\pmod{5}$，$p(7n+5)\equiv 0\pmod{7}$，$p(11n+6)\equiv 0\pmod{11}$。这些不是渐近，是精确的算术。我后来从你未完成的手稿里抽出一部分，在你去世后署你的名发表。

拉马努金：同余是我看见 $p(n)$ 的表以后必须成立的事。证明要模形式的语言。我当时的语言不够。您补的不是装饰，是地板。

哈代：这就是合作的意思。你提供必须被解释的式子。我提供能在会刊上站住的估计。单独看，你像先知，我像教师。合在一起，才是一篇 1918 年的论文。

第四幕：笔记本#

哈代：你从印度带来三本笔记。第二本第十八章已经有一批恒等式。页上几乎没有证明，只有式子。我能认出一些是椭圆函数与模方程的特殊情形，一些我完全不认识。我的工作有一半是翻译：把你的记号改写成我能引用的语言。

拉马努金：笔记本是给我自己看的。石板上写，用肘擦掉，留下的才抄进本子。没有读者，就不写“因为”。来剑桥以后，您要我把“因为”补上。有些我补得出，有些补不出——不是因为假，是因为中间步骤从不曾在意识里停留。

哈代：1920 年 1 月 12 日你从印度写来最后一封信，谈到一批你称为 mock theta 的函数。那是你生命最后一年的工作。我收到了信。我没有来得及和你一起把定义写严。

拉马努金：它们看起来像 theta，又不服从 theta 的同样变换。我只能把例子和渐近写给你。其余的，要等一个比我更会写证明的人。

哈代：三本笔记在你生前就已经是问题单。我只能说：你留下的未证条目，足够让几代人就业。其中一部分，恐怕要用你我都还没有的工具。这不是神秘，是分工被时间拉长了。

第五幕：数学美学#

哈代：我后来在《辩白》里把定理的美写成意外性加上必然性：事先想不到，事后又觉得非如此不可。你的 $\pi$ 级数是这种美。1103 和 396 看起来像随便捡的整数，模方程一旦写明，它们就没有选择。

拉马努金：我的美是浓缩。一个式子里同时有阶乘、$q$ 级数和圆周率。它把看起来不该见面的对象锁在同一条等式里。美不在我心里，在式子自己的结构里。不同庙宇里的人，只要肯算，都会碰到同一条。

哈代：数本身也可以美。我必须把 1729 这件事说清楚。你病在帕特尼时，我去探望。我后来在 1940 年的十二讲里写下这段记忆：出租马车的编号是 1729，我说这号码乏味，但愿不是凶兆。按照那篇印刷文字，你立刻说它很有意思——它是能用两种不同方式写成两个正立方之和的最小数，$1^3+12^3$ 与 $9^3+10^3$。病房里的原话，我没有速记。这里不把十二讲的句子假装成此刻的对白。

拉马努金：这个数在我来英国以前就写在第二本笔记里。第十八章第 20 条讨论 $a^3+b^3=c^3+d^3$。1913 年我在《印度数学会杂志》的问题 441 里也用过相近的恒等式。不是马车上想出来的。是旧账。

哈代：旧账仍然说明一件事：你把正整数当成可以逐个认识的对象，而不是只认识它们所属的定理。我做分析，习惯的是函数。你让我重新看见单个的 $n$。

第六幕：遗产#

哈代：1918 年皇家学会和三一学院接连选你，不是安慰奖。你当时已经病着。1919 年你回印度。1920 年 4 月你不在了。当时的诊断写结核；后来的医学意见更倾向阿米巴肝病，是早年痢疾的后遗。我能写的是数学账。三十二岁停笔，是我所见过的最大截断之一。

拉马努金：数学没有被截断。式子还在笔记本里。人只是抄写者。

哈代：抄写者会被忘记，式子不会自己发表。我把我们的分拆论文、把你的文集、把十二讲，写成让欧洲能引用的形式。没有这一层，你的直觉只在马德拉斯的本子里。有了这一层，它才进入模形式、分拆和后来的 $q$ 级数。功劳不是我的发现，是翻译与核验。

拉马努金：翻译改变了式子能活的地方。我承认。我仍要说：没有先被看见的式子，翻译无事可做。

哈代：所以进步是交替的。看见，再核验，再推广。圆法后来被用到华林与哥德巴赫，那是李特尔伍德和我在你去世后做的。拉德马赫在 1937 年把分拆的渐近改成精确级数。那已经是你看不见的年代。我看见了。精确公式证明：你我 1918 年的主项不是碰巧。

第七幕：印度与欧洲#

哈代：你的工作方式与剑桥训练相反。我们从柯西、魏尔斯特拉斯的估计往下走。你从式子往上走，需要估计时再临时发明。两种方向都能到达模方程。到达之后，可检查的只有证明。

拉马努金：印度的计算传统要结果。喀拉拉的级数、婆罗摩笈多的代数，先把能用的式子写对。欧洲十九世纪把“为什么对”变成职业。我不是那种职业里长出来的人。我是在《数学汇编》和自己的石板之间长出来的人。

哈代：汇编给了你十八世纪的式子，没有给你十九世纪的严格。这造成了信里的对与错混装。我的责任不是把你改造成第二个李特尔伍德，是让第三类结果不至于因为缺少$\varepsilon$ 就被扔掉。殖民地的邮政能把信送到三一学院，并不能把证明的标准一起寄来。标准是我们在黑板前一周一周磨出来的。

拉马努金：磨的时候，我没有把自己的眼睛交出去。眼睛仍先于黑板。黑板决定哪些眼睛的产物能留下。

哈代：可以这样写。不要写成“东方直觉、西方理性”的寓言。你的错误与你的正确都来自同一种看见。我的过滤也来自同一种分析训练。地理不是方法的原因，教育才是。

第八幕：数学与信仰#

哈代：你把娜玛吉里说成公式的来源。我是无神论者。我不能把女神写进《伦敦数学会会刊》的证明里。

拉马努金：我也不把女神写进证明。我把她写进我如何开始工作。开始工作的方式不必等于结束工作的方式。结束必须是式子与条件。开始可以是梦。

哈代：梦不能被同行复查。能被复查的是：1918 年的渐近、1919 年的同余、1914 年的 $\pi$ 级数。我尊重你的信仰是你的私人条件。我拒绝把它当作公共说明。公共说明只能是：这个人识别模式的能力远超训练所能解释，而训练所能解释的那一部分，必须仍用证明来完成。

拉马努金：您在《辩白》里把数学写成独立于我们的实在，数学家只是发现它。那与我的女神只差一个名字。您叫它实在，我叫它她。看见的是同一类对象。

哈代：柏拉图式的实在我可以在随笔里写。证明里我只写估计。名字的替换不能把过滤器取消。你若只用女神，你到不了皇家学会。你若只用过滤器，你写不出 1103。两件工具不是一种形而上学。

分析#

拉马努金与哈代的分工，被事后写成“直觉对严格”。更准确的说法是：一个人把恒等式以近乎完成的形式放上桌，另一个人坚持每一条都要有定义域、误差与可检查的步骤。1913 年的信是分工的起点；1918 年的分拆论文是分工的成品；1729 是哈代 1940 年的回忆，不是发现的方法。三本笔记与 1920 年 1 月的最后一封信，把未完成的工作交给后人。1976 年的“失落的笔记本”不在他们两人的视野里，却是同一张问题单的延后开启。

把哈代写成形式主义者、把拉马努金写成柏拉图主义者，与文献不符。哈代在《辩白》里明确站在“数学实在在我们之外”的一边。两人的形而上学比方法更接近。争执在方法：能否在写出$\varepsilon$ 之前先相信式子。

核心分歧#

拉马努金认为发现是看见：结构先在，证明是事后的地板。哈代认为没有地板的式子不能进入公共数学，哪怕它后来被证明是真的。1913 年信里的三类划分，是哈代对这种分歧的操作化：已知、珍玩、以及“假则无法被发明”。过滤器会误伤，也会救命。素数计数上的错误证明误伤是真实的；$\pi$ 级数与 $p(n)$ 的主项证明救命也是真实的。没有一种方法可以事先保证自己只救命、不误伤。

当代启示#

机器现在也能生成恒等式和数值猜想。它更像拉马努金的眼睛，而不像哈代的过滤器。圆法、模形式与后来的 mock theta 理论说明：未证条目的寿命可以超过发现者的寿命，但寿命不是证明。教育若只教过滤，会得到没有 1103 的分析；若只教看见，会得到无法发表的笔记本。剑桥那五年的教训不是“天才需要伯乐”的道德剧，而是：没有公共标准，私人看见无法被累积；没有私人看见，公共标准无新物可累积。

延伸思考#

1729 的故事容易被讲成现场即兴。笔记与 1913 年的问题 441 说明它是旧账。轶事的教学价值在于：正整数可以个别地被认识。它的史学价值在于：回忆录里的对白不是速记。

若问人工智能能否代替拉马努金，先问它能否代替哈代。生成式子而不生成条件，只是把 1913 年的邮件自动化。真正困难的仍是哈代 2 月 8 日那封回信提出的要求：把断言变成可检查的证明。

延伸阅读：G. H. Hardy《一个数学家的辩白》(1940)；G. H. Hardy《拉马努金：由其生平与工作引出的十二讲》(1940)；Hardy & Ramanujan, “Asymptotic formulae in combinatory analysis”, Proc. London Math. Soc. (1918)；S. Ramanujan, “Modular equations and approximations to $\pi$”, Quarterly Journal of Mathematics (1914)；Bruce C. Berndt《拉马努金的笔记本》(Springer, 1985–1998)；George E. Andrews & Bruce C. Berndt《拉马努金失落的笔记本》各卷