怀尔斯 vs 谷山-志村：费马大定理的证明之路

对话背景#

这场对谈在时间上不能发生。

谷山丰（Yutaka Taniyama, 1927–1958）于 1958 年 11 月 17 日在东京去世，年三十一。安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles, 1953—）在牛顿研究所宣布半稳定模性，是 1993 年 6 月 21–23 日的事；缺口被补上，是 1994 年 9 月 19 日以后。谷山不可能叙述剑桥的三次演讲，也不可能对欧拉系统、泰勒或《数学年刊》1995 年那两篇论文发表目击意见。下面把他的台词限制在 1955–1958 年他能够谈论的对象：椭圆曲线、模函数、L 函数、以及他在东京–日光会议上提出的问题。1993–1995 年的证明史，只由怀尔斯陈述，或由叙述标明。

1955 年 9 月 8–13 日，代数数论国际会议在东京与日光举行。安德烈·韦伊、让-皮埃尔·塞尔到场。会议向与会者散发了一份油印的《数论问题》清单。谷山在其中写下三十六问。第十二、十三问涉及椭圆曲线的 L 函数与模函数域——这是后来被称为谷山–志村猜想、又被称为模性定理的原型。当时的表述并不准确。志村五郎在随后两年与他一起把问题收紧。谷山未能看到韦伊 1967 年那篇关于函数方程的短文，也未能看到猜想被证明。

费马大定理是另一条线：对 $n>2$，$x^n+y^n=z^n$ 没有正整数解。欧拉处理过 $n=3$，费马自己有过 $n=4$ 的无限下降，库默尔处理正则素数。把它接到椭圆曲线上的，是 1980 年代的弗雷、塞尔与里贝特。那也不是谷山能看见的事。

第一幕：费马大定理#

怀尔斯：谷山先生，我们不能假装同处一年。您 1958 年就停了。我仍要把费马那条边注说一遍，因为它是我十岁时在剑桥公共图书馆里碰到的句子：方程 $x^n+y^n=z^n$ 在 $n>2$ 时没有正整数解。边注里的证明从未出现。它不是一条孤立的竞赛题。它后来变成检验椭圆曲线是否模的一块试金石。

谷山：费马的方程我知道，像所有数论学生一样。1955 年我的问题单上没有它。我问的是另一件事：一条定义在有理数域上的椭圆曲线，它的 zeta 函数能不能来自模函数。整数方程与模函数在我那时的桌上，还没有被一根箭连起来。

怀尔斯：箭是后人接上的。我十岁发愿要证费马时，并不知道您的问题。真正能用的路线，要到 1980 年代才出现。那已经不是您的年代。我坐在这里，是因为没有您 1955 年的问题，那条路线没有起点。

谷山：请用 1955 年的词。椭圆曲线是 $y^2=x^3+ax+b$ 这类非奇异三次。模函数是上半平面上对某种同余子群不变的函数。我问的是：曲线的 L 函数，是不是某个模形式的梅林变换。证据几乎没有。它是问题，不是定理。

第二幕：1955 年的问题#

谷山：东京–日光的会，韦伊在，塞尔在，志村在。组织者要一份未决问题。我写了三十六条，油印分发，没有进会议论文集。第十二问、第十三问后来被读成“所有有理数域上的椭圆曲线都是模的”。我当时的措辞更乱，也更宽：我想的是更一般的数域，并且把曲线说成模函数域雅可比簇的因子。字面意义并不正确。志村事后帮我收成可以写进讨论班的句子。

怀尔斯：1955 年几乎没有人信。模椭圆曲线被当成稀有动物。把“所有”两个字放上去，像是在说所有曲线都是特例。韦伊在会上听过您。他后来的态度，您活着时已经能感觉到：有趣，但证据不够。

谷山：1955 年 9 月 12 日晚上有一场关于虚数乘法的非正式讨论。记录后来印在日文杂志上。韦伊的口气不是祝贺。他要函数方程，要能算的对象，不要口号。我拿不出计算。艾希勒 1954 年关于模曲线的工作刺激过我，也刺激过韦伊。我只是把刺激写成了问题。问题可以错。错的问题有时仍指向对的方向。

怀尔斯：方向被志村在 1950 年代末和 1960 年代初写清楚。您 1958 年已经不在。韦伊 1967 年的短文证明：若椭圆曲线的 L 函数及其足够多的扭变都有预期中的函数方程，则它来自模形式。那是猜想第一次得到严肃的解析证据。文章里没有把您的名字写在定理的门口。命名后来变成谷山、志村、韦伊三组词的争执。那是文献史，不是 1955 年的现场。

谷山：现场只有油印纸。油印纸上的第十二问，经得起的部分是：不要把椭圆曲线的算术和模函数的分析当成两个王国。其余的，让活着的人去改句子。

第三幕：证明之路#

怀尔斯：现在必须换成我的时间。您不必假装听懂伽罗瓦表示——那是您去世以后才长成的语言。1986 年，肯·里贝特证明了塞尔的 $\varepsilon$ 猜想。意思是：若有理数域上的半稳定椭圆曲线都是模的，则费马大定理成立。格哈德·弗雷更早指出，若 $a^p+b^p=c^p$ 有正整数解，则曲线 $y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$ 会是一条半稳定、却被预期为非模的椭圆曲线。塞尔把“非模”写成明确的模性缺失。里贝特把缺失证成了定理。我于是有了一个可以秘密进攻的目标：不是直接碰费马的方程，而是证明足够多的椭圆曲线是模的。

谷山：半稳定、伽罗瓦表示，这些词我不能装成自己用过。我能听懂的是：后人把费马方程的一个假设解，翻译成一条椭圆曲线；再问这条曲线是否落在我 1955 年想要的那个类里。若类是空的，费马方程就没有那个解。这是反证。反证依赖的那条“所有半稳定曲线都是模的”，正是我的问题在一个更窄、更干净的子类上的影子。

怀尔斯：从 1986 年到 1993 年，我在普林斯顿把这件事做成七年不出声的工作。同事以为我还在做岩泽理论。工具包括伽罗瓦表示的形变、赫克代数、以及把环同构 $R=T$ 写成提升定理。这些在 1955 年都不存在。七年里我只对极少数人露过口风。失败的代价是职业上的空白。我当时的算法是：不许自己计算失败。

谷山：秘密工作我理解。1950 年代的东京，我们也很少把未写完的问题拿到能被引用的地方。区别是：您有一个会被全世界点名的靶子。我只有油印纸。油印纸不会催人。费马会。

第四幕：1993 到 1994#

怀尔斯：1993 年 6 月 21 到 23 日，我在剑桥牛顿研究所做了三次演讲，题目是《模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示》。第三天，我在黑板尽头写下这组工具蕴含费马大定理。那不是您能出席的房间。演讲之后，手稿进入审稿。尼克·卡茨在欧拉系统那一段抓住了缺口：我按弗拉赫与科雷瓦金的思路搭起来的对象，并不真正构成一个欧拉系统。1993 年 12 月，缺口已经无法再被说成笔误。

谷山：我不能评论一间 1993 年的教室。我能说的只有：长证明在关键引理上裂开，是数论里常见的事故。1955 年我自己的表述也裂开过，裂开的原因是定义先于例子。您继续说。不要问我那天黑板上写了什么。

怀尔斯：1994 年 1 月，我的学生理查德·泰勒加入修补。我们先试图救欧拉系统，又试图改用 $p=2$，8 月底走进死胡同。9 月 19 日早晨，我几乎准备把失败的几种走法写出来留给别人。我再看一遍科雷瓦金–弗拉赫为什么不行。忽然发现：正是它不行的那个理由，让我三年前放弃的岩泽理论路线可以走通——若把从弗拉赫那里学到的东西补回去。我后来把那一天写成工作生命里最重要的早晨。10 月 24 日，两篇稿子送出：一篇是我的《模椭圆曲线与费马大定理》，一篇是与泰勒合写的《某些赫克代数的环论性质》。1995 年 5 月，《数学年刊》第 141 卷第 3 期整期只印这两篇。

谷山：岩泽理论这个词，我只能当作您年代的工具名来听。我能附和的只有一句：被放弃的旧想法有时不是错，是缺一块后来才有的零件。零件来自失败的那条路。这在 1955 年也发生过，规模小得多。

第五幕：证明证明了什么#

怀尔斯：1995 年的论文证明的是半稳定情形的模性，因而得到费马大定理。它不是您 1955 年问题的全称解答。全称解答——所有有理数域上的椭圆曲线都是模的——由克里斯托夫·布鲁伊、布莱恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德与理查德·泰勒在 1999 年宣布、2001 年写成《关于 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的模性：wild 3-adic 练习》。那已经是我证明之后的第二代。您的问题变成定理，用了四十多年，以及一张您从未见过的工具表。

谷山：不要把“我很高兴看见它被证明”这句台词给我。我看不见。我 1958 年只能看见怀疑。怀疑是合理的：一个没有数值表支撑的全称命题，本该被怀疑。若后人证明它，椭圆曲线就不再是孤立的三次曲线，而是模形式的算术影子。那是我 1955 年想要的图景。图景被实现，与我是否在场无关。

怀尔斯：费马大定理在这个图景里是推论，不是引擎。引擎是模性。媒体把 1993 年写成“三百五十年的谜被解开”。数学内部把 1995 年写成：形变环与赫克代数可以在一套可检查的条件下重合。后者才是被继续使用的机器。

谷山：媒体与内部账本不一致，这不稀奇。油印纸上的第十二问若只被当成费马的梯子，梯子用完就会被收走。若它是模性，它会留在朗兰兹纲领的第一级台阶上。我更在乎台阶，不在乎梯子的名声。

第六幕：数学的统一性#

谷山：我能从 1955 年说的统一，很窄。椭圆曲线给出一组狄利克雷级数。模形式给出另一组。两族对象若重合，算术与分析就共用一张身份证。韦伊要函数方程，艾希勒给了模曲线上的对应，我把“是否全部重合”写成问题。没有朗兰兹这个名字。那个名字是 1960 年代末才进入公开文献的。

怀尔斯：朗兰兹纲领把您的问题放进更大的字典：伽罗瓦表示对应自守形式。模性定理是字典里最先被整页写完的一条。费马方程只是这条上的一个已知特例。统一不是口号。它表现为：原本只能用下降法逐个素数去碰的不定方程，可以被改写成表示论里的提升问题。

谷山：字典若只有一页，还不是纲领。一页已经够改变椭圆曲线的工作方式。1955 年我们连这一页的陈述都写不干净。写不干净不等于方向错。方向错的问题会被计算很快打死。这个问题活着，是因为每一条被算过的模曲线都像是证据，而反例一直没来。

怀尔斯：反例没来，仍不是证明。七年秘密工作，是把“没来”改成“在半稳定类里不可能来”。这是您的问题被缩小以后才能做的事。缩小不是背叛。全称命题往往先在一个可下手的子类里成为定理。

第七幕：个人的代价#

怀尔斯：志村 1989 年在伦敦数学会通报上写过您。1958 年 11 月 17 日，您用煤气自杀。遗书里写：直到前一天都没有明确的自杀打算；原因连自己也说不清，不是某一件具体的事。您仔细标明微积分与线性代数课已经讲到哪里，并向同事道歉，怕给系里添麻烦。您当时已与铃木美佐子订婚，新居的租约和厨具都办过了。这些不是传奇点缀。是志村作为朋友写下的记录。

谷山：不要把遗书读成数论的寓言。它不是因为第十二问不被相信。它也不是为了给后来的模性定理献祭。抑郁症在 1950 年代的东京几乎没有可被承认的位置。数学继续，人可以在任何一天停。两件事不要被拧成一条因果。

怀尔斯：我同意不编因果。我仍要记下不对称：问题活过了提出问题的人。七年不出声的工作消耗的是我的职业风险。您付出的不是职业风险。把两者写成同一种“代价”，是一种懒惰的对称。

谷山：名字留在猜想上，也不要被写成补偿。补偿是活人的需要。油印纸若推动了后来的定义，它已经做完自己的事。其余的纪念文章，让活着的人去写。

第八幕：未来的方向#

怀尔斯：半稳定之后是全部椭圆曲线。全部椭圆曲线之后是更高维的簇、其他数域、p 进朗兰兹。形式化验证开始把长证明改写成机器可检查的脚本。费马这一支也被部分形式化。那是 1995 年之后的工程，不是 1955 年的问题单。

谷山：机器检查证明，我连想象的材料都没有。我能坚持的只有：问题要先被看见，才谈得上被检查。1955 年的看见可以不精确。不精确不是反理性。它是在证据不够时仍然把方向写下来。方向写下来以后，必须允许别人改句子、缩范围、补零件。

怀尔斯：我的看见来自一个明确靶子。没有里贝特，我不会把七年交给模性。靶子与油印纸上的问题，不是同一种驱动力。但机器是同一台：没有 1955 年的方向，1986 年的靶子没有靶心。

谷山：那就让记录保持分裂。我这边是问题。您那边是后来的施工。不要让后人把两件事写成一次对话里的互相完成。中间隔的那些年，不属于我。

分析#

费马大定理的证明不是一次孤独冲刺。1955 年的油印问题给出方向，句子并不正确。志村收紧陈述，韦伊 1967 年提供解析证据，弗雷把费马解译成椭圆曲线，塞尔写成 $\varepsilon$ 猜想，里贝特 1986 年把它变成定理，怀尔斯在半稳定子类上做了七年。1993 年 6 月的宣布有缺口；1994 年 9 月 19 日的折返依赖泰勒，以及一条被放弃的岩泽理论旧路。1995 年两篇《数学年刊》论文结束费马这一支；2001 年布鲁伊–康拉德–戴蒙德–泰勒结束全称模性。写成“谷山直觉加怀尔斯毅力”，会丢掉中间每一个把句子改准确的人。

时间不对称必须写进正文。谷山死于 1958 年，不能对牛顿研究所的黑板或 9 月 19 日的早晨作证。本篇若让他开口，只谈 1955–1958。其余年份属于怀尔斯与文献。

核心分歧#

两人真正能并置的，不是对 1994 年的评价，而是发现的驱动力。谷山在证据不足时把方向写成问题；问题可以字面错误，仍指出算术与模函数该共用身份证。怀尔斯在靶心已被里贝特标出以后，把七年交给一个子类上的提升定理。前者是没有靶子的看见，后者是有靶子的施工。施工不能回溯成 1955 年的现场。看见也不能代替 1995 年的环论同构。互补是历史后来装配出来的，不是一场对谈里事先谈妥的分工。

当代启示#

1993 年的公开失败没有作废已经正确的那一半；它逼出了 1994 年的旧路折返。这与“阁楼里一次写对”的叙事相反。纪念谷山若写成悲剧献祭，既冒犯遗书里“没有特定原因”，也把数论史缩成人格剧。更可检查的纪念是：1955 年那两问如何被改写成 2001 年的定理，中间每一处缩小范围的人各做了什么。

延伸思考#

若问“谷山若活着，数学会怎样”，没有可检验的答案。有可检验的是文献：没有 1955 年的方向，1986 年的靶心不会画在那条曲线上；没有里贝特，七年秘密工作不会启动。

朗兰兹纲领会不会被写完，不是费马那一页能外推的。模性只是字典的一页。方法可以被拿到邻页上试；邻页的难度不由 1995 年决定。

延伸阅读：Andrew Wiles, “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem”, Annals of Mathematics 141 (1995)；Richard Taylor & Andrew Wiles, “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”, 同卷；Goro Shimura, “Yutaka Taniyama and His Time”, Bulletin of the London Mathematical Society (1989)；Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond & Richard Taylor, “On the modularity of elliptic curves over Q”, Journal of the American Mathematical Society (2001)；Serge Lang, “Some history of the Shimura–Taniyama conjecture”, Notices of the AMS (1995)