2021 年 12 月 1 日，《自然》杂志刊载了一篇不同寻常的论文，第一作者是 DeepMind 的研究员 Alex Davies，共同作者包括悉尼大学数学家 Geordie Williamson 和牛津大学数学家 Marc Lackenby、András Juhász。
这篇论文的核心主张令人意外：机器学习帮助数学家在纯数学领域提出了两个此前无人发现的猜想，其中一个已经在论文中得到了证明。不是"机器学习优化实验参数"，不是"AI 分类图像"，而是在纽结理论和表示论这两个高度抽象的数学领域里，机器帮助人类看见了此前看不到的结构。
这是一个起点，不是终点。它开启了一场关于"AI 能否参与数学发现本身"的认真讨论。
破除误解：AI 不是在"证明定理"
这一前沿最容易被误解的地方，恰恰是它的实际工作模式。
2021 年的 DeepMind 工作以及随后的系列尝试，不是让机器自己发现并证明定理，而是一个更精微的过程：
- 数学家提供数据集：把数学对象（纽结、置换、群的元素等）数值化，计算出它们的各种不变量；
- 机器学习找相关性：训练一个神经网络去预测某个目标量，观察预测精度；
- 归因分析揭示结构：用可解释性工具（attribution techniques）找出哪些特征对预测最有贡献；
- 数学家解读，提出猜想：根据机器发现的相关性，数学家用数学语言提炼出可证明的断言；
- 人类证明：最终由人类完成严格证明，或发现猜想是错的。
机器在这个流程里的角色是"模式探测器"，而不是推理机。它擅长在高维数据中发现人眼看不到的统计关联，但不能解释为什么这个关联成立。
现场：纽结理论中的第一个案例
纽结不变量为何难
纽结理论研究三维空间中的闭合曲线（想象把一根绳子打结后连接两端）。判断两个纽结是否"本质相同"（同痕等价）是该领域的核心问题，也是极端困难的问题。数学家为此发展了大量纽结不变量——对每个纽结赋予一个代数对象（数、多项式、群等），使得同痕等价的纽结具有相同的不变量。典型的不变量包括：
- Alexander 多项式（1928）
- Jones 多项式（1984，Vaughan Jones，此后获 Fields 奖）
- HOMFLY-PT 多项式
- Khovanov 同调（2000，范畴化的 Jones 多项式）
- 双曲体积（纽结补的双曲几何体积）
- 签名（signature）
这些不变量来自完全不同的数学框架（代数、拓扑、双曲几何），它们之间的关系长期神秘。
机器发现了什么
Davies 等人对约 270 万个纽结计算了一批不变量，训练机器学习模型，发现签名（一个代数不变量）可以被双曲不变量（来自几何）高精度预测。这暗示了一个此前没人系统研究过的代数-几何联系。Lackenby 和 Juhász 根据机器学习的归因分析结果——具体是"meridional cusp shape"（经向尖点形状）和"longitudinal cusp shape"这两个双曲几何特征最关键——提炼出了一个精确的数学猜想，并在同一篇论文中给出了证明。这是机器学习直接导致新定理的第一个高可信度案例。
表示论中的第二个案例
同一篇《自然》论文还记录了另一个案例，涉及组合不变性猜想（Combinatorial Invariance Conjecture，CIC）。
背景
Kazhdan-Lusztig 多项式是表示论中极为重要的多项式族，出现在 Weyl 群的表示分解、奇点的相交上同调等处。CIC（由 Lusztig 和 Dyer 分别在 1980 年代末提出）声称：这些多项式完全由 Bruhat 偏序关系中某个"区间"的图结构决定——而不需要完整的 Weyl 群数据。这个猜想吸引人，因为它意味着可以用纯组合的（无需代数几何的）方法计算 Kazhdan-Lusztig 多项式。但近四十年无人证明。
机器的贡献
DeepMind 与 Williamson 合作，对 Kazhdan-Lusztig 多项式和 Bruhat 区间图训练了神经网络。机器以高精度预测出了多项式值，归因分析指向两个关键图结构特征：断裂的二面体区间（broken dihedral intervals）和外部反射（external reflections）。Williamson 根据这两个线索，构造了一个算法，能够从 Bruhat 区间图计算出 Kazhdan-Lusztig 多项式。这个算法被 DeepMind 在超过 300 万个案例上计算验证，没有发现反例。这不是CIC 的完整证明——构造了一个看似正确的算法与严格证明这个算法对所有情形都成立，仍然是两件事。CIC 作为猜想在 2025 年仍然是开放的，但机器的介入给出了前所未有的具体方向。
2021 年后：这条路线走向了哪里
2021 年的工作开创了方法，后续研究在不同方向延伸：
| 时间 | 工作 | 内容 |
|---|---|---|
| 2021 | Davies et al., Nature | 纽结理论新定理；CIC 新算法 |
| 2022 | Wagner et al. | 机器学习发现组合优化的新界（Cap set 问题相关） |
| 2023 | FunSearch（DeepMind） | 进化式 AI 搜索发现新的 cap set 上界，超越已知最优 |
| 2024 | AlphaGeometry 2 | IMO 级几何题自动证明 |
2023 年的 FunSearch 值得单独提及：DeepMind 用大语言模型与进化搜索结合，在"cap set 问题"（有限域中不含等差数列的最大集合）上找到了比已知最优更好的构造，在某些维度上打破了数十年的记录。这是机器在纯数学优化问题上首次超越人类最优记录的可信案例之一。
方法的局限性：为什么数学家仍不可或缺
这套机器学习辅助发现的范式有几个内在限制，值得直视：
数据集的构造依赖人类专业判断。 要训练模型，你需要选择计算哪些不变量、建立哪种数据集。这个"提问"本身需要数学专家决定——机器不知道该用哪些特征去预测什么目标，这个问题框架由人来设定。
归因分析找到的是相关性，不是因果。 机器说"这两个双曲特征最重要"，但为什么重要，机器无法解释。数学家需要把统计相关翻译成数学直觉，再进一步翻译成可证明的断言。这个"翻译"过程高度依赖人类理解力。
在无数据的领域无法发力。 如果某个数学问题的核心对象很难被数值化（比如高度抽象的范畴论对象），机器学习就没有立足点。2021 年的案例恰好选择了可以大规模计算的不变量——这并非所有数学领域都具备的条件。
验证成本与泛化能力。300 万个案例没有反例 ≠ 对所有情形成立。从有限验证到普遍定理，中间的鸿沟仍然需要人类证明。
代价与争议
"发现"的功劳属于谁？ 学术规范遇到了新问题：如果机器找到了统计模式、人类据此提炼出猜想并证明，这个定理该如何署名？Davies 等人的 2021 年论文的做法是人机共同署名——但这尚未成为学界共识。
可重复性问题。 训练一个神经网络、对特定数学对象发现特定模式，需要计算资源和特定数据集。其他研究团队能否独立重现这些"发现"过程？目前数学领域对此还没有成熟的实践规范。
炒作与实质的落差。 2021 年的媒体报道中出现了大量"AI 开始做数学"的标题，但实际进展是有限而具体的：在两个特定问题上找到了关联，一个被证明了，另一个仍是猜想。这种语境下的炒作在某种程度上损害了领域内部的理性讨论。
未知的边界
- 能否在更抽象的领域复制？ 目前成功案例集中在有丰富数值数据的组合数论和低维拓扑领域。更抽象的代数几何、数论（如黎曼猜想相关结构）能否被类似方法触碰，目前没有成功案例。
- 机器能否提出"对的猜想"而非"统计关联"？ 统计上"强"的相关性不一定对应深刻的数学关系。如何设计方法使机器发现的模式更可能对应真正的数学结构，是一个尚无定论的方法论问题。
- 自动猜想 + 自动证明能否端到端打通？ 如果机器既能提出猜想，又能在形式化系统中自动证明，数学发现的流程将发生根本变化。目前这两个能力是分离的，如何结合是开放问题。
- 对数学教育和职业结构的影响。 如果"发现模式"和"证明定理"这两件事可以被不同主体承担，数学研究的分工和训练方式将如何演变？
跨域连接
- 纽结理论：机器把代数不变量与双曲几何量之间的高精度可预测性摆了出来，人类据此提炼并证明了定理。分工是清楚的：机器给的是统计关联，定理是人证的——这一条已经完成，可以作为既成事实引用；机器并未给出"为什么"，那一半仍由人补上。
- 大语言模型：把程序搜索与语言模型结合，可以在组合优化问题上给出超过已知最优的构造。要点是搜索空间被限制在可自动评分的程序上——猜想对不对由评测函数当场判定，人不必介入；能自动评分的问题与需要证明的问题因此不能混谈。
- 科学如何进步：这条流水线把"发现"与"辩护"两个环节拆开，机器负责生成候选模式，人负责给出理由。推论是署名与功劳的规范需要重写——传统上这两个环节由同一主体承担，评价体系照此设计，可重复性也随之成为新的技术要求。
- 伊辛模型：物理学长期沿"数值实验—猜想—证明"这条路走，蒙特卡洛先给出相变位置，严格结果随后跟上，有时干脆跟不上。这提醒我们机器辅助并不是新范式，新的只是模式探测能覆盖的维数上限，证明的地位并未改变。
- 蛋白质设计：同样的分工——机器给出高置信度的候选，湿实验负责证实。共同瓶颈是可验证性：数学靠证明、生物靠实验，都无法被预测模型自身取代，这也是"三百万个案例没有反例"仍然不等于定理的原因。
参考文献
- Davies, A., Veličković, P., Buesing, L., Williamson, G. et al. "Advancing mathematics by guiding human intuition with AI." Nature 600, 70–74 (2021).
- Romera-Paredes, B. et al. "Mathematical discoveries from program search with large language models." Nature 625, 468–475 (2024). （FunSearch 论文）
- Lackenby, M. "The Signature of a Knot and Its Hyperbolic Invariants." （2021 年论文的数学部分）
- Williamson, G. "Is there a neural network approach to some of the central problems in representation theory?" ICM 2022 Proceedings.
延伸阅读
- DeepMind Blog. "Exploring the beauty of pure mathematics in novel ways." 2021-12-01.