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rigorization分析学约 15 分钟阅读

欧拉

Leonhard Euler

瑞士·1707–1783
欧拉公式图论数论分析学变分法

生平

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）是历史上最多产的数学家，发表了约866篇论文和著作，涵盖了数学的所有分支以及物理学、天文学和工程学。他的全集预计超过100卷，至今仍在整理出版中。欧拉出生于瑞士巴塞尔，父亲保罗·欧拉是一位加尔文教牧师。欧拉最初在父亲的期望下学习神学，但他的数学天赋引起了约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的注意。伯努利说服了欧拉的父亲，允许他转攻数学。

1727年，欧拉应俄国女皇叶卡捷琳娜一世的邀请，前往圣彼得堡科学院工作。1733年，他接替丹尼尔·伯努利成为数学教授。在圣彼得堡，欧拉进行了惊人的高产研究，即使在1738年右眼失明后，他的研究速度也没有减慢。

1741年，欧拉应普鲁士国王腓特烈大帝的邀请前往柏林科学院。在柏林的25年中，他发表了约380篇论文和多部重要著作。1766年，欧拉回到圣彼得堡，直到去世。

1771年，欧拉完全失明（右眼早在 1738 年前后就已近乎失明）。然而，他的记忆力惊人——他能在头脑中完成复杂的计算，口述论文让助手记录。失明后，他的研究速度反而加快——平均每年发表约50篇数学论文。1783 年 9 月 18 日，他在与同事莱克塞尔（Lexell）讨论新发现的天王星（赫歇尔行星）的轨道、并与孙辈玩耍时突发脑溢血，几小时后去世。孔多塞（Condorcet）在悼词中留下了那句传诵至今的话："他停止了计算，也停止了生命"（il cessa de calculer et de vivre）。（流传的"我死了"一语并无可靠出处，这里不取。）

核心贡献

欧拉公式

欧拉最著名的发现是欧拉公式：

eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x + i \sin x

当 x=πx = \pi 时，得到欧拉恒等式——被誉为"最美丽的数学公式"：

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

这个公式将五个最重要的数学常数（$e$, $i$, π\pi, $1$, $0$）用一个简洁的等式联系起来。常有人把"如果一个人看到这个公式而不感到震撼，那他一定不是真正的数学家"这句话归于高斯，但这一归属并不可靠（属于"据说"性质的轶事）；有据可查的同类感慨出自 19 世纪哈佛数学家本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce），他在课堂上证完欧拉恒等式后说："先生们，这绝对是真的，但它完全是悖论式的；我们无法理解它，也不知道它意味着什么——可我们已经证明了它，所以它必定是真理。"

欧拉公式的证明基于泰勒级数展开：

eix=∑n=0∞(ix)nn!=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!+i∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos x + i \sin x

欧拉公式在数学和物理学中有广泛应用： - 交流电路分析中的相量表示 - 量子力学中的波函数描述 - 信号处理中的傅里叶变换 - 控制理论中的频域分析

图论的创立

欧拉创立了图论——数学的一个重要分支。1736年，他解决了著名的柯尼斯堡七桥问题：柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）有七座桥连接普雷格尔河中的两个岛屿和两岸。问题是：能否找到一条路线，恰好经过每座桥一次？欧拉将问题抽象为一个图——陆地是顶点，桥是边。他指出，这样的路线存在的条件与"奇数度顶点"的个数有关：图中奇数度的顶点恰好有 0 个或 2 个。由于柯尼斯堡七桥图有 4 个奇数度的顶点，所以不存在这样的路线。

需要澄清一个常被含糊带过的史实：欧拉 1736 年真正严格证明的，只是这个条件的必要性（"能一笔画 ⇒ 奇点数为 0 或 2"，这一半是显然的——每经过一个非起终点的顶点，都要"进一条边、出一条边"，成对消耗）；而充分性（"奇点数为 0 或 2 ⇒ 一定能一笔画"）他只是断言、并未给出完整证明。第一个完整证明直到 1873 年才由希尔霍尔策（Carl Hierholzer）发表。所以严格地说，欧拉给出的是判据，而完整的"充要"定理是后人接力完成的。

这一工作开创了图论和拓扑学的研究——它是数学史上第一个把问题的答案完全归结于连接方式（拓扑）而非具体形状（几何）的例子，欧拉本人称之为"位置几何"（geometria situs）。图论至今仍是计算机科学、运筹学和网络科学的核心工具。

欧拉函数与数论

欧拉定义了欧拉函数 ϕ(n)\phi(n)——小于等于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数个数。例如：ϕ(12)=4\phi(12) = 4（1, 5, 7, 11 与 12 互素）

欧拉函数的性质： - 若 $n = p$（素数），则 ϕ(n)=p−1\phi(n) = p - 1 - 若 n=pkn = p^k（素数的幂），则 ϕ(n)=pk−pk−1\phi(n) = p^k - p^{k-1} - 若 $m, n$ 互素，则 ϕ(mn)=ϕ(m)⋅ϕ(n)\phi(mn) = \phi(m) \cdot \phi(n)

欧拉定理（费马小定理的推广）：若 $a$ 与 $n$ 互素，则

aϕ(n)≡1(modn)a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}

当 $n = p$（素数）时，ϕ(p)=p−1\phi(p) = p-1，得到费马小定理：

ap−1≡1(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

欧拉定理是现代密码学（RSA加密）的理论基础。

欧拉多面体公式

欧拉发现了多面体公式——拓扑学的第一个定理：

V−E+F=2V - E + F = 2

其中 $V$ 是顶点数，$E$ 是棱数，$F$ 是面数。

例如： - 正四面体：$V=4, E=6, F=4$，$4-6+4=2$ - 正六面体（立方体）：$V=8, E=12, F=6$，$8-12+6=2$ - 正十二面体：$V=20, E=30, F=12$，$20-30+12=2$

这个公式不依赖于几何度量，只依赖于拓扑结构——它是拓扑学的开端。对于更一般的曲面（如环面），公式变为 $V - E + F = 2 - 2g$，其中 $g$ 是亏格（"洞"的个数）。

自然数倒数平方和

欧拉解决了巴塞尔问题——求自然数倒数平方和：

∑n=1∞1n2=112+122+132+⋯=π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}

这个问题困扰了数学家将近一个世纪。欧拉在1735年给出了答案，他的方法极其大胆——他将 sin⁡(x)/x\sin(x)/x 展开为无穷乘积，然后比较系数：

sin⁡xx=(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)⋯\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots

展开后 x2x^2 的系数为 −1π2∑n=1∞1n2-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}，而 sin⁡(x)/x\sin(x)/x 的泰勒展开中 x2x^2 的系数为 $-1/6$，因此：

∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

这里要诚实地点破一个常被略过的微妙之处：欧拉 1735 年的这个论证在当时并不严格。他把 sin⁡x\sin x 当成一个"有无穷多个根的多项式"来做因式分解，但凭什么一个超越函数可以这样无穷乘积展开、又凭什么不会多出指数因子这类东西？当时没有理论保证。同代人（如约翰·伯努利）就提出过质疑。直到 19 世纪魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的因子分解定理才为这种无穷乘积提供了严格依据——欧拉的因式分解恰好是它的一个特例。欧拉本人也意识到了这一点，后来（1741、1755 年）用更稳妥的方法重新证明了巴塞尔问题。这正是欧拉的典型风格：先用惊人的直觉跳到正确答案，严格性留给后人补全——而他的答案几乎从不出错。

欧拉用类似的方法计算了许多其他级数的和，如：

∑n=1∞1n4=π490,∑n=1∞1n6=π6945\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6} = \frac{\pi^6}{945}

变分法的奠基

欧拉与拉格朗日共同创立了变分法——研究泛函极值的数学分支。

欧拉-拉格朗日方程：

∂F∂y−ddx∂F∂y′=0\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0

其中 $F(x, y, y')$ 是被积函数。

变分法在物理学中有广泛应用： - 最小作用量原理——力学、光学和量子力学的基础 - 测地线问题——曲面上最短路径的确定 - 等周问题——给定周长的最大面积（圆）

数学符号的统一

欧拉统一了数学符号，使其成为现代标准： - $e$ —— 自然对数的底（欧拉数） - $i$ —— 虚数单位 −1\sqrt{-1} - π\pi —— 圆周率（虽然 π\pi 的符号由琼斯引入，但欧拉使其广泛使用） - Σ\Sigma —— 求和符号 - $f(x)$ —— 函数符号 - Δy\Delta y —— 有限差分

历史背景

欧拉生活在18世纪的启蒙时代。这是一个理性主义高涨、科学迅速发展的时期。欧洲各国纷纷建立科学院，为科学家提供研究经费和生活保障。欧拉一生在三个科学院工作——圣彼得堡、柏林和圣彼得堡。在数学方面，18世纪是分析学大发展的时代。牛顿和莱布尼茨的微积分需要系统化和严格化。欧拉的《无穷小分析引论》（1748）、《微分学基础》（1755）和《积分学》（1768—1770）三部著作，将微积分从几何直觉转变为代数分析，为19世纪的严格化奠定了基础。

思想遗产

欧拉的影响无处不在：

  1. 数学符号：$e$, $i$, π\pi, Σ\Sigma, $f(x)$ 成为数学的国际语言
  2. 分析学：将微积分系统化，推动了分析学的全面发展
  3. 图论：创立了一个至今仍活跃的数学分支
  4. 数论：欧拉函数和欧拉定理是现代密码学的基础
  5. 变分法：为物理学的最小作用量原理提供了数学框架
  6. 拓扑学：多面体公式是拓扑学的开端

据 19 世纪学者利布里（Libri，1846 年于《Journal des Savants》）的记述，他亲耳听拉普拉斯说过："读欧拉，读欧拉，他是我们所有人的老师。"（Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.）

与其他数学家的关系

  • 伯努利家族：约翰·伯努利是欧拉的老师，丹尼尔·伯努利是他的朋友和同事
  • 拉格朗日：与欧拉共同创立变分法，继承了欧拉在柏林科学院的职位
  • 高斯：继承并发展了欧拉的数论研究
  • 牛顿：欧拉将牛顿的流数法系统化为分析学
  • 莱布尼茨：欧拉使用莱布尼茨的符号系统进行研究

跨域连接

  • 图论：七桥问题的解法是把几何形状全部丢掉、只留连接关系，于是"能否一笔画"化为顶点度数奇偶性的判定。推论是：任何只依赖连接方式的问题都可以照此剥离几何——这类"位置几何"从此成为可迁移的方法，而不只是一道趣题。同一套判据还给出可检验的否定结论：奇数度顶点多于两个，路线就不存在，不必再试。
  • 刚体转动：刚体转动写在随体坐标下成为一组耦合方程，定性行为完全由三个主转动惯量的大小关系决定。推论是：绕最大轴与最小轴的自转稳定，绕中间轴不稳定——这是任何人拿一本书抛一下就能验证的判据。
  • RSA 公钥密码：欧拉定理给出模幂运算的周期，解密指数正是照此选出来的。推论是：只要算得出那个周期就能解密，而算它与分解模数等价——安全性于是被归约到分解难题，而不是"加密结果看起来很乱"。
  • 碳的同素异形体：闭合多面体的顶点、棱、面数满足一条固定关系，若碳笼只由五元环与六元环构成，五元环数必须恰好是十二个，与六元环有多少无关。推论是：各种尺寸的碳笼都带十二个五元环，这是拓扑约束而非化学偏好，因此任何声称只含六元环的闭合碳笼都可以直接排除。
  • 社会网络分析：把人际关系剥离为点与边之后，"谁是桥"完全由结构算出，与个人属性无关。推论是：移除高介数节点会显著拉长平均路径，移除高度数节点却未必——两种"重要"不是一回事，干预时选错指标会白费力气。

参考文献

  1. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748)
  2. Ronald Calinger, Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment (2016)
  3. William Dunham, Euler: The Master of Us All (1999)
  4. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (2008)

延伸阅读

  1. 梁宗巨, 《数学历史典故》, 辽宁教育出版社, 1992

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 ——欧拉