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calculus-revolution数论约 18 分钟阅读

费马

Pierre de Fermat

法国·1601–1665
费马大定理数论概率论极值方法

生平

皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601—1665）是法国数学家，被誉为"业余数学家之王"。他出生于法国南部的博蒙-德-洛马涅（Beaumont-de-Lomagne，今属塔恩-加龙省），父亲是皮革商人，母亲是法官的女儿。

费马的出生年份其实存在争议。传统记载为 1601 年，依据是当地教堂 1601 年 8 月 20 日的一份洗礼记录。但德国卡塞尔大学的 Klaus Barner 经考证认为，那名受洗的婴儿是一位早夭的同名同父异母兄长，真正的数学家费马很可能生于 1607 年末，为其父第二任妻子克莱尔·德·隆（Claire de Long）所生。本文沿用通行的 1601 年，但读者应知此日期至今没有定论。

费马于 1631 年 5 月在奥尔良大学取得民法学士学位，同年回到图卢兹，买下当地议会（Parlement de Toulouse）的顾问（conseiller）职位。作为议会成员，他跻身"穿袍贵族"（noblesse de robe），由此获得在姓氏前加"de"的权利——"de Fermat"中的那个"de"正是这样来的。从 1642 年起，费马还在卡斯特尔（Castres）的"敕令法庭"（Chambre de l'Édit）任职，审理《南特敕令》之下新教徒与天主教徒之间的诉讼，后来一度升任该庭庭长。数学始终只是他的业余爱好，但他的贡献足以使他跻身 17 世纪最伟大的数学家之列。

费马的性格谨慎而低调。他很少发表自己的数学发现，而是通过与帕斯卡、笛卡尔、梅森等同时代数学家的通信来分享他的结果。他的许多重要发现是在他去世后，由他的儿子塞缪尔·费马整理出版的。费马最著名的特征是他的"页边注"。他在阅读丢番图的《算术》时，在页边写下了许多猜想和证明思路，但往往不给出完整证明。最著名的一条注释是关于费马大定理的："我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。"

费马于 1665 年 1 月 12 日在卡斯特尔去世——去世前三天，他还在当地法庭处理公务。若按 1601 年生计，则享年 63 岁。

核心贡献

费马大定理

费马最著名的发现是费马大定理（Fermat's Last Theorem）：

定理：当 $n > 2$ 时，方程 xn+yn=znx^n + y^n = z^n 没有正整数解。

费马大约在 1637 年读巴歇（Claude Bachet）校订的丢番图《算术》时，把这条猜想写在了第二卷第 8 题旁的空白处。这条批注本身直到 1670 年才公之于众——他的儿子克莱芒-塞缪尔·费马（Clément-Samuel Fermat）在图卢兹重印《算术》，把父亲散落各处的页边笔记一并附上，世人才读到那句著名的"页边太窄"自白。此后 358 年间，无数数学家试图攻克它，催生了代数数论、理想（ideal）理论等重要分支。

费马大定理的证明历史： - n=4：费马本人用无穷递降法证明（这是他唯一流传下来的较完整证明，详见下文） - n=3：欧拉在 1770 年的《代数学》中证明，但其论证在 Z[−3]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] 中默认了唯一分解，留有一处漏洞，后人才补全 - n=5：勒让德与狄利克雷在 1825 年前后证明 - n=7：拉梅在 1839 年证明 - 一般情形：安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）于 1994 年完成、1995 年正式发表

怀尔斯的路线并不直接处理费马方程，而是接力了一连串现代成果：1980 年代，弗赖（Gerhard Frey）指出若费马方程有解，便能构造出一条"过于反常"的椭圆曲线；里贝特（Ken Ribet）在 1986 年证明这条曲线无法对应任何模形式。于是只要证明"半稳定椭圆曲线都来自模形式"（谷山–志村猜想的相应情形），费马大定理便随之成立。

怀尔斯为此秘密工作了七年，于 1993 年 6 月 23 日在剑桥牛顿研究所宣布证明。但同行评审很快发现其中一处涉及欧拉系（Euler system）的关键漏洞。他与昔日的学生理查德·泰勒（Richard Taylor）合作，于 1994 年 9 月绕过了这一难关，完整证明在 1995 年发表于《数学年刊》（Annals of Mathematics）。这被公认为 20 世纪数学最伟大的成就之一。

费马小定理

费马发现了费马小定理——数论中的基本定理：

定理：若 $p$ 是素数，$a$ 是不被 $p$ 整除的整数，则

ap−1≡1(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

费马在 1640 年 10 月 18 日写给弗雷尼克勒·德·贝西（Frénicle de Bessy）的信中陈述了这一定理，照例没有附上证明，只说"若不是怕太长，我本会把证明也写上"。欧拉在 1736 年发表了第一个公开证明；不过莱布尼茨早在 1683 年之前就已在一份未发表的手稿中得到过同样的论证。

费马小定理的应用： - 素数测试：如果 ap−1≢1(modp)a^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p}，则 $p$ 不是素数 - RSA加密：费马小定理的推广（欧拉定理）是RSA加密算法的理论基础 - 模运算：简化大数的模幂运算

需要提醒的是，这个素性测试只能"证伪"、不能"证真"。即便对许多底数 $a$ 都满足 ap−1≡1(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}，$p$ 也未必是素数：存在所谓的卡迈克尔数（Carmichael number），最小的是 561=3×11×17561 = 3 \times 11 \times 17，它对每一个与之互素的底数都能骗过费马测试。正因如此，现代算法（如 Miller–Rabin 测试）要在费马测试的基础上再加强化。

费马原理（光学）

费马发现了费马原理——光学中的基本原理：

原理：光在两点之间传播时，所走的实际路径使传播时间取驻定值（stationary value）。

用数学语言表示：光从点 $A$ 到点 $B$ 的传播时间

T=∫ABdsvT = \int_A^B \frac{ds}{v}

其中 $ds$ 是路径元素，$v$ 是光在介质中的速度。费马本人将其表述为"最短时间路径"，这在常见的反射、折射情形里确实成立；但现代更精确的表述是"时间的一阶变分为零"——真实路径未必是耗时最短的，也可以是耗时极大或鞍点（例如凹面镜反射），统称驻定路径。费马原理可以推导出光的反射定律和折射定律。它是变分法的早期例子，后来被汉密尔顿的最小作用量原理推广为整个分析力学的基石。

解析几何

费马独立于笛卡尔发展了解析几何。他在1636年的手稿《平面与立体轨迹引论》中，用代数方程描述几何曲线。费马的方法是：给定一个几何条件，用坐标将其转化为代数方程。例如，直线的方程是 $ax + by = c$，圆的方程是 x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2。虽然笛卡尔的《几何学》（1637）比费马的手稿更早发表，但费马的工作在某些方面更为系统化。现代数学史界普遍认为两人独立发展了解析几何。

概率论

费马与帕斯卡在1654年的通信中共同创立了概率论。他们的讨论源于一个赌博问题（分赌注问题）：

问题：两个赌徒约定先赢 $n$ 局的人获得全部赌注。当游戏因故中断时，如何分配赌注？

费马和帕斯卡用不同的方法解决了这个问题。费马用组合方法，帕斯卡用递推方法。他们的通信成为概率论诞生的标志。

费马还研究了组合数的性质。他发现了帕斯卡三角（杨辉三角）中的许多规律，如： - 每行的和等于 2n2^n - 对角线上的数对应组合数 - 费马小定理可以用帕斯卡三角证明

极值方法

费马发展了一种求函数极值的方法——费马极值方法：

设 $f(x)$ 在 x0x_0 处取得极值。费马的方法是： 1. 计算 f(x0+h)f(x_0 + h) 2. 令 f(x0+h)=f(x0)f(x_0 + h) = f(x_0) 3. 消去 $h$，解出 x0x_0

用现代语言表示，费马的方法等价于令 f′(x0)=0f'(x_0) = 0。费马用这一方法求切线、法线和极值点，为微积分的发展做出了重要贡献。

数论的其他丰碑

费马真正的所爱是数论，他在这一领域的成果远不止"大定理"一条。

两平方和定理（"圣诞定理"）：每个形如 $4k+1$ 的奇素数都能唯一地写成两个平方数之和，例如 13=22+3213 = 2^2 + 3^2、29=22+5229 = 2^2 + 5^2。费马在 1640 年 12 月 25 日写给梅森（Mersenne）的信中宣布了它，"圣诞定理"之名正由此而来。欧拉在 1749 年用无穷递降法给出第一个完整证明。

无穷递降法的范例：费马唯一一份较完整、且流传至今的数论证明，是"边长为整数的直角三角形，其面积不可能是完全平方数"。他用自己钟爱的无穷递降法完成它，而这条结论恰好直接推出费马大定理 $n=4$ 的情形。

佩尔方程的挑战：1657 年 2 月，费马向英国数学家沃利斯（John Wallis）和布龙克尔（William Brouncker）下战书，要他们求 x2−Ny2=1x^2 - N y^2 = 1（$N$ 为非平方正整数）的整数解，并特意点了 $N = 61$、$N = 109$ 这类难缠的值——$N = 61$ 的最小解大到 $x = 1766319049$。这类方程后来被欧拉误记成英国人佩尔（John Pell）的工作，于是将错就错地被称为"佩尔方程"，其实佩尔与它几乎无关。

费马数：一次著名的失误

人们常把费马想象成从不出错的天才，这并不符合事实。他曾猜想所有形如

Fn=22n+1F_n = 2^{2^n} + 1

的数（今称费马数）都是素数，理由是前五个 F0=3F_0 = 3、F1=5F_1 = 5、F2=17F_2 = 17、F3=257F_3 = 257、F4=65537F_4 = 65537 确实都是素数。但欧拉在 1732 年算出

F5=232+1=4294967297=641×6700417,F_5 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417,

一举推翻了这个猜想。颇具讽刺意味的是，至今人们再没有发现 F4F_4 之后的任何一个费马素数。这段插曲提醒我们：费马的直觉惊人地准，却并非永远正确。

数学哲学

费马的数学哲学可以概括为古典主义——他继承了古希腊数学的传统，追求严格证明和优美结果。

费马的方法论特点包括： 1. 无穷递降法：假设存在最小解，构造更小的解，产生矛盾 2. 几何与代数的结合：用代数方法解决几何问题 3. 直觉与严格：费马的直觉往往正确，但他有时省略严格证明

历史背景

费马生活在17世纪的法国。这一时期法国正在经历路易十三和路易十四的中央集权化，同时也是科学革命的时代。笛卡尔、帕斯卡、费马——这些法国数学家的工作奠定了现代数学的基础。在数学方面，17世纪是微积分酝酿的时代。费马的极值方法和切线计算、笛卡尔的解析几何、帕斯卡的射影几何——这些工作为牛顿和莱布尼茨的微积分创造了条件。

思想遗产

费马的影响深远而持久：

  1. 费马大定理：困扰了数学家358年，推动了代数数论和代数几何的发展
  2. 费马小定理：成为现代密码学的基础
  3. 解析几何：与笛卡尔共同创立了解析几何
  4. 概率论：与帕斯卡共同创立了概率论
  5. 极值方法：为微积分的发展做出了重要贡献

费马被称为"业余数学家之王"，因为他的正式职业是律师和行政官员，数学只是他的业余爱好。然而，他的数学贡献不亚于任何专业数学家。

与其他数学家的关系

  • 帕斯卡：与费马通信讨论赌博问题，共同创立概率论
  • 笛卡尔：与费马独立发展了解析几何，但两人的关系紧张
  • 欧拉：证明了费马小定理，并用费马的方法解决了许多数论问题
  • 高斯：继承了费马的数论研究
  • 怀尔斯：在1995年证明了费马大定理

跨域连接

  • 几何光学：光在不同介质中速度不同，取传播时间驻定的路径就给出折射定律，折射率之比即速度之比的倒数。推论："最短时间"是不准确的说法——凹面镜上真实路径可能耗时最长，这在实验台上就能搭出来核对，正确判据是时间的一阶变化为零。
  • 计算机安全原理：模一个素数做幂运算必然回到一，这给出一个必要条件：不满足即可判定为合数。推论：它只能证伪不能证真——存在能骗过所有互素底数的合数，所以工程上只把它当作快速筛除的前置步骤，判定必须再加强化。
  • 媒介与公共领域：期刊制度成型之前，结果靠私人信件在小圈子里流通，优先权与可信度由通信网络中的核心人物担保。推论：这种体制擅长快速交换想法，却不留下可追溯的公开记录——只写断言不写证明是制度的产物，不是个人癖好，优先权纠纷频发也出自同一根源。
  • 分配正义：赌局中断时按"若继续下去各自的获胜可能"分配赌本，等于用对未来的加权取代已经发生的战绩。推论："应得"由历史事实被改写成可能性的期望值，这一步后来直接支撑了保险定价与风险分担制度。
  • 变分法：极值处函数值对微小扰动不敏感，令一阶变化为零即可定出极值点，求切线用的正是同一步。推论：同一判据从光路推广到力学作用量，普遍成立的是"驻定"而不是"最小"。

延伸阅读

  1. Pierre de Fermat, Oeuvres (4卷, 1891—1912)
  2. Simon Singh, Fermat's Enigma (1997)
  3. Michael Sean Mahoney, The Mathematical Career of Pierre de Fermat (1973)
  4. 梁宗巨, 《数学历史典故》, 辽宁教育出版社, 1992
  5. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (2008)

参考文献

  1. Michael S. Mahoney, The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665, 2nd ed., Princeton University Press, 1994.
  2. Klaus Barner, "How Old Did Fermat Become?", NTM Internationale Zeitschrift für Geschichte und Ethik der Naturwissenschaften, Technik und Medizin 9 (2001)；另见 Klaus Barner, "When Was Pierre de Fermat Born?", Mathematical Association of America, Convergence.
  3. André Weil, Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser, 1984.
  4. Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 1977.
  5. Andrew Wiles, "Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem", Annals of Mathematics 141 (1995): 443–551；Richard Taylor & Andrew Wiles, "Ring-Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras", Annals of Mathematics 141 (1995): 553–572.

「我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。」——费马