欧拉多面体公式

多二，不是少二#

凸多面体，以及连通的平面图，满足 $V-E+F=2$。平面图的面把无界面算进去。图画在平面上，边的外面仍是一块区域。不把这块算进面数，立方体会被当成五个面，$8-12+5=1$，不再是 $2$。把同一件事写成加法，就是 $V+F=E+2$。两式只差移项。少二不是另一种写法，是把加号放错了边。

四次核对都停在等于二。立方体 $8-12+6=2$。正四面体四个顶点、六条棱、四个面，$4-6+4=2$。平面上的 $n$ 圈有 $n$ 个顶点、$n$ 条边，圈把平面分成内部与外部两个面，$n-n+2=2$。$n$ 个顶点的树有 $n-1$ 条边，图论页已经把这条边数写下。树没有圈，画在平面上切不开内部，只剩一个无界面，$n-(n-1)+1=2$。圈的面数是二，树的面数是一，边数也跟着差一，交错和仍是同一个二。

凸的四角锥不是正多面体，同样可以核对。底面四个顶点再加尖顶，是五个顶点。底面四条边再加四条侧棱，是八条棱。四个三角形侧面加一个四边形底，是五个面。$5-8+5=2$，也就是 $5+5=8+2$。公式不要求每个面全等，也不要求每条棱一样长。长方体和立方体可以棱长不同，个数仍是八个顶点、十二条棱、六个面。它锁的是三个个数，不是长度和角度。

把少二代回这些例子，没有一例幸存。立方体要 $8+6=12-2$。正四面体要 $4+4=6-2$。圈要 $n+2=n-2$，正整数 $n$ 做不到。树要 $n+1=(n-1)-2$，左边比右边多四。所以错处不是某一个立体把棱数记错，而是把「多二」说成了「少二」。欧拉档案对这条的内容摘要曾把多二说成少二。那句摘要与 $V+F=E+2$ 相反。本页不引用它。核对以立方体 $8+6=12+2$ 为准。三圈也能凑出二，它是平面图，不是把空间包起来的凸多面体。整数满足等式，并不自动给出一个凸立体。

两个孤立点给出三#

连通性不能省。两个孤立顶点没有边，$E=0$。平面上没有曲线去切开区域，内部不存在，只留下一个无界面，所以 $F=1$。于是 $V-E+F=2-0+1=3$。等价式变成 $2+1=0+2$，左边三，右边二。两种写法一起失败。失败不是因为顶点太少。一个孤立顶点仍连通，它是只有一个顶点的树，$1-0+1=2$，留在假设里面。两个孤立顶点中间缺一条把它们连起来的边，图不再连通，才离开假设。

不能把每个孤立点各算一次「等于二」，再宣称并起来仍等于二。单独看，每个点自己是一棵树，各自有 $1-0+1=2$。并到同一张平面上时，无界面只有一块，被两个分量共用，不能各算一次。本页不把这个反例改写成随分量个数变化的另一条公式。它只挡住「不连通也等于二」。归纳也停在连通：删边之后必须仍是一个分量，这块无界面才不会被好几张图抢着计数。

去掉圈上的一条边#

证明不排成可以照着执行的程序，也不去枚举所有凸多面体。对象是有限的连通平面图，边只在顶点相交，面含无界面。要说明的只有 $V-E+F=2$。用到的只有两件事。树的情形已经等于二。若还有圈，去掉一条圈上的边，交错和不变，并且图仍连通。

树的情形就是前面已经核过的那一档。连通、无圈、$n$ 个顶点，则边数是 $n-1$，面数是 $1$，于是 $n-(n-1)+1=2$。单顶点是 $n=1$ 的树，也在这批起点里。这里没有圈，所以没有边可删。归纳从这些树出发，不从空图出发，也不从好几棵树的并出发。空图没有顶点，不在「$n$ 个顶点的树」里。两棵树的并已经在孤立点的例子里被挡在假设之外。

图若连通而且有圈，圈上一条边不是桥。删掉它，两端仍能沿圈的其余部分走通，图还是连通的。在平面嵌入里，这条边是两个面的公共边界。删掉它，两个面合并成一个，面数减一，顶点数不动，边数减一。$V-E+F$ 里，$-E$ 增加一，$+F$ 减少一，和不变。无界面若是被合并的一侧，外面只是变大，仍然算一个面。

有限图上的圈不能无限减少。每删一条圈边，边数下降，交错和与连通性都保持。减到没有圈，得到的是一棵树，交错和等于二。每一步都没改变这个和，所以原来的图也等于二。从树添一条仍落在平面嵌入里的边，是同一步倒过来读：边数加一，一个面被切成两个，面数加一，和仍不变。这不是一套生成全部平面图的工序，也不是第二套证明。

被删的边必须两侧分属不同的面。两侧若是同一个面，删掉它面数不减，交错和会变。桥就是这种边，删掉还会失去连通。归纳只删圈上的边，因此没有「边数减了、面数不动」的步骤。少了连通，一个分量里的圈可以删完，另一个分量原地不动，无界面却只有一块，起点的和就已经不是二。

凸多面体进入同一条等式，靠的是把表面摊开。表面先放到球面上，各面盖住球面。再从靠近某一个面的一点摊到平面上，那个面变成无界面。顶点与棱的个数不变，这块无界面仍算一个面，交错和与摊开之前相同。立方体仍是 $8-12+6=2$，正四面体仍是 $4-6+4=2$。归纳写在平面图这一侧。多面体一侧只说明为什么可以搬过来，不把 1758 年的文本说成已经含有这段无缺口的归纳。

环面不必等于二#

环面上一张多面体剖分不必等于二。甜甜圈可以分成许多多边形面，顶点数减棱数加面数可以不是本页的二。本页的等式停在球面或平面这一档。亏格一变，这个二就不再是本页的结论。这里不另写一条随亏格改变的公式，也不给出那条公式的证明。环面已经闭合，不能靠挖开一个面摊到平面上来保住同一个二。

凸是一条够用的假设，不是「凡称为多面体者皆等于二」。凸多面体的表面没有环面那种贯通的洞。非凸、但表面仍可摊成球面的立体，交错和也可以是二，那仍是这一档。一旦表面变成环面，即使每个面都是平的多边形，也不能再引用 $V-E+F=2$。本页说的平面图，是已经画好、边只在顶点相遇的连通图。交叉才能画下的图，面没有按原图定义。把图画歪、拉长，只要不新增交叉、不撕开连通，三个个数可以保持。变的可以是边长。不变的是个数。图论总览说这是拓扑不变量而不是几何度量，指的就是这件分开。

1750 年的信与 1758 年的刊出#

欧拉在 1750 年写信给哥德巴赫，说立体几何里的这层关系此前没有被注意到。信里谈的是立体的角、棱与面怎样互相约束，不是柯尼斯堡的桥能否一次走完。图论总览已经把两件事分开：1736 年的论文给出的是一笔画的必要条件，平面图的这条公式来自后来对多面体的计数。本页沿用这个分开。用奇度顶点的个数，推不出 $8-12+6$。用多面体的二，也推不出七座桥走不走得通。

论文 Elementa doctrinae solidorum 是 Eneström 230。它写于 1750，刊于 1758 年的 Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 第 4 卷，第 109–140 页。写作年与刊出年差了八年。卷期上能核对到的页码属于 1758。1750 年能核对到的是给哥德巴赫的那封信，不是这一卷已经装订好的页。把发现、写信、刊出收成同一个年，三层时间就叠坏了。这一篇刊出的是陈述所在的文本。它不是本页这段归纳的印刷底稿。

同卷另有一篇试图给出证明。后来的读者认为那份证明有缺口。本页不把 1758 年写成已经无缺口的证明，也不给第二篇编页码。既然后来的读者指出了缺口，就不能把同卷的尝试写成收尾，也不能把 E230 的页码借给那一篇。109–140 页只标在陈述这一篇上。

柯西后来补过证明。补证明不是 1758 年已经完成的工作。本页提到这个姓，只说明缺口是在刊出之后才被处理的。不编他的页码，不把他的文章说成 E230 的续页，也不把本页的归纳说成 1758 年已经印出的段落。归纳是连通平面图上的一种写法。它站在树与删边这两件事上。它不代替对十八世纪那一篇证明的逐行校读。

本页因此不设 mathematician，也不设 year。欧拉恒等式页把人物设成欧拉，年份设成 1748。欧拉定理页把人物设成欧拉，年份设成 1763。若本页再填同一个人，卡片会把多面体计数、复指数恒等式、互素幂次同余焊到同一个人的同一栏。三件事都带着这个姓。对象分别是顶点边面、复指数、以及与模互素的幂。正文可以写欧拉，也可以写哥德巴赫。年份留在句子里，不留在会触发这栏合并的位置上。

三页不能对调#

欧拉恒等式页的等式是 $e^{i\pi}+1=0$。那一页写明，它是欧拉公式在旋转半周时的特例，五个常数各自先有意义，等式只约束它们同时出现时的关系，年份是 1748。本页没有自然对数的底，没有虚数单位，没有圆周率。看见单位圆上的旋转，离开本页。看见 $8-12+6$，也不要去那一页把这个二解释成从 $-1$ 再加一回到零。

欧拉定理页的等式是：若底数与正整数模互素，则底数的欧拉函数次幂与一在模下同余。那一页把年份记为刊出年 1763，并写明欧拉示性数是顶点、棱、面那一类交错和，不是这条同余。本页正是那一类交错和在球面或平面上等于二的情形。这里没有模，没有互素的底数，也不把一个整数自乘。$2-0+1=3$ 里的三是两个孤立点的交错和，不是某次幂被除之后剩下的余数。

图论页负责点与边的语言，包括握手定理、树的边数，以及公式表里的那一行。本页补上的是四件那一行没有展开的事：无界面要计入面数；等价式是多二不是少二；两个孤立点给出三；删去圈边的归纳只在连通时把和保持为二。组合总览把这条公式和拉丁方、幻方放在同一段先驱工作里。那些是别的计数。本页不讨论方阵里的符号怎样填写，也不把幻方各行的和说成 $V-E+F$。

它保证的只有这一档：凸多面体满足多二，计入无界面的连通平面图也满足多二。它不保证不连通的图等于二，不保证环面上的剖分等于二，也不保证 1758 年同卷的证明篇已经没有缺口。它更不保证 $e^{i\pi}+1=0$，也不保证互素底数的幂在模下回到一。共享姓氏不是共享陈述。

跨域连接#

• 图论：图论页的公式表写着 $V-E+F=2$（平面图），正文写连通平面图的顶点数减边数加面数恒等于二，并说明它来自后来对多面体的计数，和七桥里的欧拉回路不是同一件事。那一页已写下 $n$ 个顶点的树恰好有 $n-1$ 条边。本页用这条边数加上一个无界面，得到树的交错和为二。奇度点可以否决一笔画，不能代替立方体的 $8-12+6$。
• 欧拉恒等式：恒等式页的等式是 $e^{i\pi}+1=0$，来自复指数在单位圆上转到半周，年份记为 1748。本页没有虚数单位，也没有圆周率。两页都会被简称成欧拉公式。看见旋转半周，去那一页。看见无界面要算进面数，留在这里。把 $V+F=E+2$ 读成五个常数的约束，是把计数读成了旋转。
• 欧拉定理：欧拉定理页是互素幂次的同余：底数与模互素时，其欧拉函数次幂在模下回到一。人物是欧拉，年份是 1763。那一页写明示性数不是这条同余，而是顶点、棱、面的交错和。本页就是这一交错和在球面或平面上等于二，不取同余，也不把 1763 写进栏位。两个孤立点得出三，那一页要核对的却是余数是否为一。
• 拓扑学：拓扑学页写，任何凸多面体的顶点数减棱数加面数永远等于二，这个数对可以连续变成球面的形状都成立，并把公式的年份记为 1758，也就是本页的刊出年，不是 1750 年那封信。那一页把示性数写成这个交错和，并说连续变形下它不变。本页不把任意空间的和都收成二。两个孤立点的和是三，环面的剖分不必是二。七桥仍归图论页已经分开的那一支。
• 欧拉：人物页写下 $V-E+F=2$，并核对正四面体 $4-6+4=2$ 与立方体 $8-12+6=2$。本页沿用这两次核对，补上圈、树和两个孤立点。同页还列着欧拉函数和倒数平方和，并列不是同一条定理。本页不设人物栏和年份栏，免得与恒等式页的 1748、欧拉定理页的 1763 收进同一格。人物页在这一档之后还写到更一般的曲面。本页不跟随那一句。
• 高斯-博内定理：高斯-博内页把闭曲面的总高斯曲率与欧拉示性数相连，积分等于 $2\pi$ 乘以示性数。那一页写球面的总和永远是 $4\pi$，因为示性数是二；环面的总和永远是 $0$，因为示性数是 $0$。证明在角盈相加之后使用 $V-E+F$ 等于示性数。本页只提供球面或平面上该和等于二，不给曲率积分添加那一页没有的数字。亏格一变，这个二就不再是本页的结论。
• 组合数学：组合数学页写欧拉研究了多面体公式 $V-E+F=2$，并与七桥、拉丁方、幻方放在同一段。本页只取多面体公式。同页的 $n^{n-2}$ 是标号树的棵数。本页用的是另一句：连通无圈时边数是 $n-1$，只剩一个无界面，交错和为二。不要把棵数代进 $V-E+F$。

参考文献#

• Euler, Elementa doctrinae solidorum, Novi Commentarii 第 4 卷, 1758, pp. 109–140, E230。这一条是陈述的刊出，写于 1750，印在 1758 年的这一卷。同卷另有一篇试图给出证明，后来的读者认为那份证明有缺口。本页不把那一篇写成已经无缺口，也不给它编页码。
• Béla Bollobás, Modern Graph Theory (1998)。图论总览已列此书。本页用它作连通平面图这一陈述的现代教材来源，不编定理号。树的边数，以及删去圈上一条边后面数跟着减一，是这一档教材里的常见写法。页码和定理编号都不安到此书上。