算术基本定理

破除误解#

第二条误解，是 高斯 从无到有发明了素数分解。素数、合数和整除在古典算术里早已在用。第 16 条不是「高斯发明了素数」。1801 年《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）第 16 条的英文表述是「A composite number can be resolved into prime factors in only one way」，也就是合数分解成素因子只有一种方式。他把存在性当作初等考虑里清楚的事，正文着力的是唯一性，并指出人们常常不经证明就默认不能有多种分解。这是目前最常被指认为第一次把唯一性证清楚的条目。第 16 条排在第 13 条到第 15 条之后。第 13 条是小于给定素数的两个正整数之积不能被该素数整除。第 14 条是欧几里得引理的一种形式：素数 $p$ 不整除 $a$，也不整除 $b$，则不整除 $ab$。第 15 条把这件事推广到更多因子。第 16 条使用的是这三步。本页不编第 16 条的页码。这里的「只有一种方式」，也不能读成书写次序只许一种。$2 \times 3$ 与 $3 \times 2$ 仍是同一种分解。

第三条误解，是把「唯一」听成任何因子都唯一，或者听成连次序都唯一。若允许合数当因子，$12 = 4 \times 3 = 2 \times 2 \times 3$，写法就不只一种。4 自己还能再拆成 $2 \times 2$。唯一性要求每个因子是素数。相同的素数收成幂以后，12 写成 $2^2 \times 3$。交换次序仍是这一种。先写成 $2 \times 3 \times 2$，再把两个 2 收拢，也还是这一种。换一个指数，或换进别的素数，得到的是另一个数。$2 \times 3$ 是 6，不是 12。

第四条误解，是把名字相近的定理焊在一起。代数基本定理 说的是复系数多项式的根。那一页把人物记为高斯，把年份记为 1799，对象不是整数的素因子。中国剩余定理 问的是同余组。那一页已经写「第一条要拆开的是算术基本定理」。素数定理 问的是素数有多少，是 $\pi(x)$ 的渐近，不是分解是否唯一。三件事都可以在数论里先后读到，没有一件能代替大于 1 的整数如何写成素数幂。

定理在说什么#

现代陈述停在正整数。每个大于 1 的整数，要么自己就是素数，要么可以写成素数的乘积。把相同的素数收成幂以后，这组素数幂不计次序是唯一的。素数自己就是指数为 1 的一项。合数至少拆出两个素数因子，允许重复。大于 1 这个界限要留着。1 不是素数，也不是素数的乘积，不在「大于 1」这条里面。有的课本把 1 写成没有任何因子的空积，好让公式从 1 起统一编号。那是后来的记账约定，不是命题 30 的原句，也不是第 16 条的原句。本页的主陈述不靠空积，也不把 1 说成素数。

负整数要先拿出单位 −1。−12 可以写成 −1 乘上 $2^2 \times 3$。单位拿出去以后，剩下的大于 1 的正整数才回到主陈述。整数里的单位只有 1 和 −1。乘上单位不增加新的素因子。若把负号也算成另一种素因子，陈述就和单位搅在一起。本页因此停在大于 1 的正整数，避免把单位问题说成高斯原文已经用现代环语言写过。第 16 条谈的是合数如何分成素因子，没有在定义单位群，也没有把负号收进素因子的名单。

不计次序，不能理解成指数也可以改。$2^2 \times 3$ 是 12，$2^1 \times 3$ 是 6。指数不同，就是不同的分解，也是不同的数。给定这个大于 1 的整数，出现哪些素数、每个指数是多少，都被锁死。能变的只有书写顺序。$2^2 \times 3$、$3 \times 2^2$，以及先写 $2 \times 3 \times 2$ 再把相同的 2 收拢，指向的是同一组素数幂。定理允许这种整理，不允许另换一组素数。100 只能是 $2^2 \times 5^2$。把 5 的指数改成 1，得到的是 20，不再是 100。

主陈述可以收成一行。大于 1 的正整数写成素数幂之积，不计次序时这组幂是唯一的。式子里若删掉「不计次序」，交换因子会被误认成第二种分解。式子也不声称连书写顺序都唯一。

$$n>1 \Rightarrow n=\prod_i p_i^{a_i}\quad\text{（不计次序）}$$

存在性与唯一性各管一段#

存在性在古典算术里被当成可分解。合数不是素数，就能写成两个大于 1、又比它自己小的正整数之积。其中若还有合数，就再拆。正整数不能无限变小，拆法会停，停下来的因子都是素数。命题 31 所在的传统就是这一步。它保证有一组素数乘出来，不保证不会有另一组。存在性因此比唯一性好讲。高斯把存在性放在初等考虑里。第 16 条的正文不去重证「可以拆开」，而去证「不能有两套」。把存在性说成第 16 条才突然出现，和把唯一性说成《几何原本》已经写完，是方向相反的同一种夸大。

唯一性的现代清晰证明在第 16 条，引理却比第 16 条老。引理说，素数量尽一个乘积，就必须量尽其中一个因子。没有它，你只知道合数能拆，不知道两套素数分解必须是同一套。设同一个大于 1 的整数有两种素数分解。从第一种里取一个素数，它量尽第二种的乘积，于是量尽第二种里的某一个素数。素数的正因子只有 1 和它自己，所以这两个素数相同。从两边消去它。若剩下的仍大于 1，就再做同样的事。若一边先消成 1，另一边还剩一个素数，那个素数就要整除 1，这不可能。所以两边的素数和指数必须一样。这是引理在唯一性里起的作用。本页不把辗转相除写成逐步算法，也不写程序。求最大公因数的算草，不是这条定理的陈述。

用 12 可以把这个作用看清楚，而不是变成一套算则。一种分解是 $2 \times 2 \times 3$，收成幂就是 $2^2 \times 3$。假使还有另一种全由素数组成的分解，引理逼着其中出现的 2 必须整除另一种里的某个素数，那个素数只能仍是 2。消去以后看剩下的部分，3 也必须在另一边出现。5 不会出现，因为 5 不整除 12。允许把 4 留在因子里时，这种逼法用不上，因为 4 不是素数，引理的前提没有满足。所以「因子必须是素数」不是措辞偏好，而是唯一性得以开口的条件。

第 13 条到第 15 条是第 16 条的准备，不是三块可以抽走的装饰。第 13 条先挡住一种不可能：两个都小于给定素数的正整数，乘积却被这个素数整除。第 14 条换成引理的形式，这个素数两个都不整除，则不整除乘积。第 15 条让因子多于两个，好让合数的分解不至于停在两个因子上。第 16 条才把「只有一种方式」说完整，并点明人们常常默认、却没有证明。默认和证明之间的缝，是这条定理在历史上被补清楚的地方。欧几里得提供更早的引理。高斯把唯一性写成可以核对的条目。两边都不能单独记成这条定理的发明人，所以本页不把定理系在一个人名下。

它保证什么，不保证什么#

它保证的只有一件。在整数环 $\mathbb{Z}$ 里，每个大于 1 的正整数都有素数幂分解，不计次序只有一种。12 只能是 $2^2 \times 3$。100 只能是 $2^2 \times 5^2$。换一种素数，或改一个指数，得到的是另一个整数。乘法结构因此有了标准名字。要看两个大于 1 的正整数是不是同一个，可以比它们出现的素数和指数，而不必在意某一次书写时谁排在前面。这件事不顺便告诉你素数有多少，也不给一个同余组配解。

它不保证别的环也这样。环 那一页已经举过例子：在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 里，$6 = 2 \times 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$。两种乘积都等于 6。环页把这两组因子当作本质上不同的分解。本页借用这个等式，说明唯一分解可以失败，不在这里重证那些因子为什么不能互相改写，也不展开理想论的构造步骤。理想怎样在另一层把分解补回来，是环页的事。所以算术基本定理是关于整数环 $\mathbb{Z}$ 的，不是关于每一个整环。前提里的「整数」不能换成任意一个能做加减乘的系统。

它不负责数素数有多少。素数定理把不超过某个上界的素数个数记成 $\pi(x)$，主项是这个上界除以它的自然对数。那是密度，相对误差随上界增大而趋于零。分解唯一是单个整数的乘法结构。知道每个合数只有一种素数幂写法，推不出 $\pi(x)$ 的渐近。知道素数大约有多密，也推不出 12 不能换成别的素数幂。一个在计数，一个在规定标准形。刻度不同，不能互相代替。

它不解同余组。中国剩余定理的未知数，是同时满足几条剩余的那个整数。解若唯一，唯一在模乘积的一个类里，不在素因子的指数里。互素的模可以把剩余粘成一个类。粘合成功，并没有写出这个类的代表由哪些素数乘出来。一个数可以有唯一的素数幂分解，仍使一组不互素的同余无解。整除的道理两边都会用到。用完以后，一边锁住的是素数幂，一边锁住的是剩余类。

它也不找多项式的根。代数基本定理保证非常数的复系数多项式在复数里有根。连同重数，根的个数等于次数。$x^2+1 = 0$ 在实数里无解，在复数里有根。这件事不告诉你 12 的素因子，也不使用命题 30。名字里都有「基本定理」，对象一个是多项式，一个是大于 1 的整数。并成「高斯的基本定理」以后，1799 年的根和 1801 年的因子会互相冒充。本页不讨论怎样求根，那一页的存在性也不改写整数的分解。

它也不替 希尔伯特旅馆 下定义。那一页把第 $i$ 辆巴士上的第 $j$ 个客人放进 $p_i^j$ 号房间。不同的 $(i,j)$ 不会撞房，因为素数幂的底数和指数一旦写定，这个正整数就定了。这是应用，不是本定理的陈述。定理不谈可数集的并，也不保证每个房间都被用到。6、10、12 这类不是素数幂的号码，在这个方案里空着。排房的办法可以换成别的配对。换成以后，大于 1 的整数仍然只有一种不计次序的素数幂分解。应用靠这条唯一性，不能倒过来说定理在谈论旅馆。

跨域连接#

• 数论：数论页把素因子分解和同余放在一起，并把这条定理写成大于 1 的整数可唯一分解为素数之积，不计顺序。本页补上分工。合数继续拆，给出存在。素数量尽乘积就必须量尽一个因子，才把第二种写法排除。欧拉函数用指数去数与 $n$ 互素的个数，用的是分解已经唯一之后的计算。那一步默认标准形已经有了，并不解释标准形为什么不能有第二个。同余把整数收成剩余类，问的也不是这组素数幂。
• 环：环页先肯定整数环里的唯一分解，再用 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 里的 6 说明换环可以失败。$6 = 2 \times 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$，两组因子被那一页当作本质上不同。本页把成功的一边说死：对象是大于 1 的正整数，因子必须是素数，次序不算不同。环页后面用理想在另一层恢复分解。那种构造这里不展开。同一个等式，一边说明 $\mathbb{Z}$ 上成立，一边说明不是每个整环都成立。
• 欧几里得：人物页的主线是《几何原本》的公设，以及素数有无穷多个。与本定理可以核对的，是第七卷命题 30、命题 31，以及第九卷命题 14。命题 30 是引理，管的是素数量尽乘积则量尽一因子。命题 31 只作为合数有素因子的传统被点名。命题 14 常被放进同一条链，本页不把它写成不计次序的唯一标准分解，也不编引文。引理比 1801 年的第 16 条老，仍不能把现代整句送回《几何原本》的一个标题。
• 希尔伯特旅馆：旅馆把第 $i$ 辆巴士上的第 $j$ 个客人送进 $p_i^j$ 号。不同的 $(i,j)$ 不撞房，是因为素数幂不计次序只有一种，底数和指数一起定死这个正整数。这是拿已经证完的唯一性去编号，不是定理的另一种陈述。定理不保证房间被占满。6、10、12 不是素数幂，在这个方案里空着。可数并仍可数，以及别的配对怎样填满房间，是那一页的事。排房方案换掉，大于 1 的整数的分解仍然唯一。
• 素数定理：素数定理把不超过 $x$ 的素数个数写成 $\pi(x)$，主项是 $x$ 除以自然对数，相对误差随上界增大趋于零。它描述素数有多密，不给 12 指定因子，也不禁止两种分解。算术基本定理对每个大于 1 的整数给出一种素数幂写法，却不估计这些素数排得多密。密度公式再准，单个合数的标准形仍要另写。一个是计数的渐近，一个是乘法的标准形。
• 中国剩余定理：同余页问一个未知数同时落在哪些剩余类里。解的唯一性只活在模乘积的一个类里。那一页已经写「第一条要拆开的是算术基本定理」。本页从对面写。有唯一的素数幂分解，仍可能使不互素的同余组无解。把互素的剩余粘成一个类，也不会因此写出素因子。整除的道理两边都能用，一边锁住素数幂，一边锁住剩余类。同余组的未知数不是 12 的因子表。
• 高斯：人物页把 1801 年的《算术研究》当作数论的系统著作，同余和二次互反都在书中。与分解唯一直接对应的是第 16 条，不是整本书，也不是代数基本定理那条线。第 16 条把存在性当作初等考虑里清楚的事，正文证明合数分成素因子只有一种方式，并指出人们常常不经证明就默认。第 13 条到第 15 条是准备。不要把「奠定数论」读成素数从这一年才出现。引理更早。第 16 条补上的是默认与证明之间的那一缝。
• 代数基本定理：代数那一页的对象是复系数多项式的根。非常数多项式在复数里有根，按重数计，根的个数等于次数。那条线的人物是高斯，年份是 1799。算术这一页的对象是大于 1 的整数的素因子，不能收成同一个年份，也不能收成同一个人名下的同一条定理。多项式拆成一次因式，对应的是根。整数拆成素数幂，对应的是乘法里不能再拆的正整数。根可以按重数重复，素数的指数也可以大于 1，重复的意思却不同。一个在计数方程的解，一个在规定因子必须是素数。

参考文献#

1. Euclid, Elements, Book VII, Proposition 30。若一个素数量尽两数的乘积，则它量尽其中之一。同书第七卷命题 31 与第九卷命题 14 只作为相关命题点名，不编造引文。
2. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801, Article 16。合数分解成素因子只有一种方式。正文着力于唯一性，并指出人们常常不经证明就默认不能有多种分解。第 13 条至第 15 条是其准备。本页不编页码。