二次互反律

破除误解#

第二条误解，是把它当成任意整数对任意模的平方检测。p 为奇素数，a 为整数。勒让德符号在 p 不整除 a 时为 1 或 −1。存在整数 x，使 x 的平方同余于 a 模 p，则符号为 1，a 称为模 p 的二次剩余。不存在这样的 x，则符号为 −1，a 称为二次非剩余。p 整除 a 时符号为 0。0 不是第三种剩余。它只表示 a 与模不互素，平方同余退化成 p 整除这个平方。互反律把两个符号相乘，底和模都是奇素数，而且两个素数不同。合数放不进这组前提。符号为 1 只说明有解，不把解写出来。本页停在有无。

第三条误解，是把补充律当成主定理换一个字母。补充律是相邻陈述，不是同一条。一条决定 −1 是不是剩余，一条决定 2 是不是剩余。−1 不是奇素数。2 是素数，但不是奇数。主定理右边的指数含有 (q−1)/2。q 是奇数时，这才是整数。把 q 写成 2，指数变成二分之一，主公式本身没有定义。把 q 写成 −1，左边的符号也没有按两个奇素数来定义。所以这两条不能从「两个奇素数」那句直接换个字母得到。本页不编它们第一次出现的节号。比较两个奇素数时途中会遇到 −1 和 2。遇到了，要另引补充律，而不是假装主定理已经把它们包括进去。

第四条误解，是优先权和名字。欧拉更早摸到过二次剩余随素数变化的现象。本页不编他的论文卷页，也不把欧拉写成 1801 年这部书的作者。勒让德更早写过一条论证。高斯指出其中有漏洞，因此不能把勒让德的文本当成第一个严密证明。漏洞卡在哪一条引理，本页不编编号。严密的成书证明在《算术研究》。1801 是这本书的出版年，不是高斯的出生年。人物页上的生卒不能挪过来充当证明年。

第五条误解，是把转述当成原文，或把多次证明当成多条定律。数论页写高斯称之为「算术的宝石」，并写他一生给出了 8 个不同的证明。拉丁原文是 theorema aureum。本页用黄金定理。「宝石」是中文转述，不是逐词翻译。aureum 说的是黄金，不是宝石。8 这个数目沿用数论页已经写下的说法。本页不逐个转述这 8 个证明，不命名，也不编年。证明有多条路径，不改变哪一份文本是第一个严密证明，也不把 8 个证明说成 8 条不同的定律。

第六条误解，是把位置相近的定理焊在一起。算术基本定理 管大于 1 的整数如何写成素数幂，不计次序只有一种。素数定理 管不超过某个上界的素数有多少。二次互反律管两个奇素数的二次特征是否同号。三件事都可以在数论里先后读到。没有一件能代替另外两件。分解唯一推不出符号。密度推不出符号。符号也推不出那两件事。它尤其不判断合数。

符号先于乘积#

符号要先说死，乘积才有主语。p 为奇素数。p 整除 a 时，勒让德符号为 0。p 不整除 a，并且有平方同余于 a，符号为 1。p 不整除 a，并且没有这样的平方，符号为 −1。二次剩余只对应 1。二次非剩余只对应 −1。0 的平方确实同余于 0，但按这个用词不叫二次剩余，以免和符号为 1 混成一件事。这个三分是定义。互反律是后来的等式，不是三分的来源。

同一个模上还有乘法性质，也不要和互反律混写。p 不整除 a，也不整除 b 时，(ab/p) 等于 (a/p) 与 (b/p) 的乘积。若 p 整除 ab，则因为 p 是素数，它必整除 a 或 b，左边为 0，右边也有一个因子为 0。乘法性质始终只有一个模。它不把底和模对调，也不看模 4。主定理里的乘积是两个不同的模。看见两个符号相乘，不等于看见了这条乘法性质。

奇素数模 4 只可能余 1 或 3。余 0 或余 2 的数是偶数，不会是奇素数。主陈述因此可以只谈这两种余数。p 与 q 不同，且都是奇素数时，

$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}.$$

(p−1)/2 为偶数，当且仅当 p 模 4 余 1。它为奇数，当且仅当 p 模 4 余 3。q 同样。两个奇数相乘才是奇数，其中有一个偶数则积为偶数。所以右边等于 −1，当且仅当 p 和 q 都模 4 余 3。其余情形右边等于 1，两个符号相等。相等是指同为 1 或同为 −1，不是指两个素数相等。反号是指乘积为 −1。大小不进入指数。不是较大的那个作模就要变号。变号只看双方是否都余 3。一个余 1、一个余 3 时，指数仍是偶数，符号保持同号。

用 3 和 7 核对一次#

问 3 是不是模 7 的二次剩余。7 不整除 3，符号不是 0。看 1 到 6 的平方。1 的平方余 1。2 的平方余 4。3 的平方是 9，余 2。4 的平方是 16，余 2。5 的平方是 25，余 4。6 的平方是 36，余 1。非零平方只出现 1、2、4。没有 3，也没有 5 和 6。因此不存在整数 x 使 x 的平方同余于 3 模 7，(3/7) 为 −1。3 是模 7 的二次非剩余。把这六个数再平方一次，就能复核没有一个余数是 3。

六次计算只给出三个值，是因为对称，不是因为漏算。7 减去 k 再平方，展开以后带 7 的项都消失，只留下 k 的平方。所以 6 与 1、5 与 2、4 与 3 两两同余。表可以看成三行，结论不变：3 不在其中。

互反律说明为什么可以换成较小的模。换的时候要把两步分开，不能都记在定律名下。3 和 7 都是奇素数，彼此不同，而且都模 4 余 3。3 本身余 3。7 等于 4 加 3。双方都余 3，所以符号反号，(3/7) 等于 (7/3) 的相反数。这一步才是互反律。

下一步不是互反律。7 同余于 1 模 3。符号只看底在模里的类，所以 (7/3) 等于 (1/3)。1 是 1 的平方，因而 (1/3) 为 1，(7/3) 为 1，于是 (3/7) 为 −1。这和六次平方的结果一致。较小的模是 3。认出 1 是平方，就得到同一个符号。反号是因为双方都余 3，不是因为 7 比 3 大。若其中一个模 4 余 1，指数为偶数，换成另一个模时符号不变。本页不再另算一对数。一个例子只用来核对，不写成对更大整数的教程。

补充律各自站住#

对奇素数 p，两条补充律是

$$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}},\qquad \left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}.$$

第一条只看模 4。p 余 1 时，(p−1)/2 为偶数，−1 是二次剩余。p 余 3 时，指数为奇数，−1 是二次非剩余。7 余 3，所以 (−1/7) 应为 −1。−1 同余于 6 模 7。上一节的平方里没有 6。符号和直接计算一致。

第二条看的不是模 4。指数是 p 的平方减 1，再除以 8。p 为奇数时这个商是整数。商为偶数则 (2/p) 为 1，为奇数则为 −1。7 的平方是 49，减 1 得 48，除以 8 得 6，6 是偶数，所以 (2/7) 为 1。3 的平方余 2，上一节的表里确实有解。5 的平方是 25，减 1 得 24，除以 8 得 3，3 是奇数，所以 (2/5) 为 −1。模 5 的非零平方只有 1 和 4：1 的平方余 1，2 的平方余 4，3 的平方余 4，4 的平方余 1。没有 2。−1 在模 7 上、2 在模 7 与模 5 上，都和直接计算一致。它们仍然不是把主定理的字母改成 −1 或 2。前提对不上，代换就不合法。本页不编节号，也不把复核扩成一套演算。

黄金定理落在 1801#

《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）1801 年出版于莱比锡。高斯 在这本书里给出二次互反律的第一个严密证明。本页的年份记的是出版年。它不是出生年。书在这一年出版，使这份证明成为可以核对的成书文本。人的生年只说明他何时在世，不代替这一年的书。把出生年读成证明年，和把 1801 读成出生年，是方向相反的同一种混淆。

他自己的拉丁称呼是 theorema aureum。黄金定理是顺着这几个词说的。数论页写成「算术的宝石」。宝石表达重视，不是 aureum 的逐词翻译。两处可以对照着读。一处是站点的中文转述，一处是他自己的拉丁称呼。本页正文用黄金定理，并说明数论页的「宝石」是转述。不要把转述再译回拉丁文，当成书里的另一个原词。

他一生给出 8 个不同的证明。这个 8 已经写在数论页上。多一条证明，是另一条路径，不是另一个出版年，也不是勒让德那份文本可以被改记成严密。本页不逐个转述这 8 个证明，不给它们起名字，也不排列发表先后。第一条严密的成书证明仍然是 1801 年这一本。

勒让德先写过一条论证。高斯指出其中有漏洞。因此不能把那份文本当成第一个严密证明。本页不把漏洞写成某一条引理的编号。编号一旦凭空写上，读者无法在这里核对。欧拉更早摸到过现象。严密的成书证明在《算术研究》。现象、有漏洞的论证、严密的成书证明，是三件先后不同的事，不能并成一个人、一年。

它保证什么，不保证什么#

它保证的只有比较。两个不同的奇素数，勒让德符号的乘积由它们模 4 的余数决定。都余 3 则乘积为 −1，否则为 1。3 与 7 是前一种。列平方是为了复核这一个例子。定理的句子本身不要求先准备一张平方表。

它不比较一个素数和它自己。p 整除 p，符号为 0。0 不参加「同号或反号」。主定理要求两个素数不同，就是排除这个 0。它也不把 2 收进同一句。2 是唯一的偶素数，由补充律单独说 (2/p)。把 2 塞进主定理的字母，右边的指数不再是整数。

它不判断合数。15 不是奇素数。不能把 15 放进主定理的模，再问某个整数是不是剩余。算术基本定理可以把 15 写成 3 乘 5。那是因子分解，不是勒让德符号。分解做完，互反律仍然只对奇素数对奇素数说话。合数模上有没有平方剩余，要另问。本页不把「另问」写成手续。

它不代替算术基本定理。知道两个奇素数的符号关系，推不出大于 1 的整数只有一种不计次序的素数幂分解。知道分解唯一，也推不出 (3/7) 为 −1。一个锁住因子，一个锁住两个奇素数的二次特征。两边都会用到整除。用完以后，结论并不相同。

它不是素数定理。素数定理把不超过某个上界的素数个数记成 π(x)，主项是这个上界除以它的自然对数，相对误差随上界增大趋于零。那是密度。互反律对已经给定的两个奇素数给出符号。素数再密，也不自动告诉你 3 是不是模 7 的剩余。符号算成 −1，也不估计 π(x)。

它也不是费马小定理。p 不整除 a 时，a 的 p−1 次方同余于 1 模 p。这是乘法幂。由此可以知道 a 的 (p−1)/2 次方模 p 等于 1 或 −1 中的一个，但小定理不指明是哪一个，更不比较两个奇素数对调以后是否改号。互反律要的是后一件事。两句话都用到奇素数，问的不是同一个同余。欧拉把指数从 p−1 推广到与模互素时的欧拉函数，对象仍是幂，不是二次剩余。

跨域连接#

• 数论：数论页把勒让德符号和二次互反律放在同余之后，公式与本页相同，并把高斯的重视写成「算术的宝石」，同时记下 8 个证明。本页把称呼拆开。拉丁原文是 theorema aureum，黄金定理顺着这几个词来说，「宝石」是中文转述。同页还并列算术基本定理和素数定理。三行公式并排，不表示可以互相代入。互反律只比较两个不同的奇素数。合数如何拆成素数幂，素数有多密，都不是符号的乘积。
• 高斯：人物页写《算术研究》给出第一个无漏洞的完整证明，并写他称这条定理为黄金定理，拉丁文是 theorema aureum。本页沿用这个优先权，不把勒让德更早的文本补成严密证明，也不编漏洞所在的引理号。人物页写下的八个证明，本页只保留这个数目，不逐个转述，不命名，不编年。1801 是书的出版年。人物页另有生卒，不能把出生年读成证明年。同余和原根是那一页的其他线索，说明这本书不止一条定理，并不改变互反律的前提。
• 素数定理：素数定理把不超过 x 的素数个数写成 π(x)，主项是 x 除以自然对数，相对误差随上界增大趋于零。它描述已经数到的素数有多密。二次互反律描述两个已经认定的奇素数之间，平方剩余的符号是否同号。密度再准，也给不出 (3/7)。符号算成 −1，也给不出 π(x)。一个在计数，一个在比较两个素数的二次特征。都含有素数，不是同一条定理。
• 算术基本定理：那一页说，每个大于 1 的整数可写成素数幂之积，不计次序只有一种。它把合数拆开。拆开以后，因子里若有两个不同的奇素数，互反律才可能用在这一对上。拆开本身不计算勒让德符号。15 写成 3 乘 5 是分解，不是在判断模 15 的剩余。反过来，(3/7) 为 −1 也不证明 12 只有一种素数幂写法。唯一分解锁住因子。互反律锁住两个奇素数的符号关系。
• 欧拉：欧拉更早摸到过二次剩余的规律。人物页上的数论主线是欧拉函数和欧拉定理，也就是费马小定理在底数与模互素时的推广。那条推广仍是乘法幂：与模互素时，a 的欧拉函数次方同余于 1。它不判断 a 是不是平方剩余，也不比较两个奇素数是否同号。本页不把欧拉写成 1801 年《算术研究》的作者，也不编他讨论剩余的卷页。现象可以更早。严密的成书证明在高斯那本书里。
• 费马小定理：小定理说，p 是素数且 p 不整除 a 时，a 的 p−1 次方同余于 1 模 p。它管的是乘法幂，不是二次剩余。由它只能知道 a 的 (p−1)/2 次方模 p 等于 1 或 −1 之一，不能单靠这句话决定是哪一个，更不能决定两个奇素数对调以后是否反号。互反律要的是后一件事。两页可以对照，不能合并。小定理也不判断合数，那是它自己的边界。本页不借它去写开方，也不把幂次同余改写成演算。

参考文献#

• Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, 1801. 这部书给出二次互反律的第一个严密证明。本页不编节号。高斯的拉丁称呼 theorema aureum 在此对应黄金定理。
• Ireland, Kenneth, and Michael Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2nd ed. Springer, 1990. 勒让德符号、互反律与两条补充律的现代陈述以这类教科书为参照。本页不编页码。