凯莱-哈密顿定理

阶是方阵的阶#

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$n$ 是正整数。单位矩阵 $I$ 与 $A$ 同阶，特征多项式才写得出来：

$$p_A(t)=\det(tI-A).$$

这是 $t$ 的标量多项式，次数是 $n$，首项系数是 $1$。定理说 $p_A(A)$ 等于 $n$ 阶零矩阵。次数跟着方阵的阶走，不是在行数和列数里随便挑一个。矩形矩阵没有与自己同尺寸的单位矩阵，$tI-A$ 减不成，行列式也没有定义。把 $m\times n$ 且 $m\neq n$ 的表仍叫成「满足自己的特征多项式」，是把方阵的前提涂掉。

系数是标量，不是矩阵。若

$$p_A(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1 t+c_0,$$

则代入的含义是

$$p_A(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1 A+c_0 I.$$

$A^k$ 是矩阵幂。常数项 $c_0$ 乘的是单位矩阵。少写这个 $I$，右边就不再是矩阵，等式没有类型。$t^{n-1}$ 的系数是 $-\operatorname{tr} A$，常数项是 $(-1)^n\det A$。这些都是标量。本页不把每个主子式再展开一遍，只用这个形状说明：标量系数已经在代入之前取定，代入只替换幂。

二阶可以看完。设 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，则

$$tI-A=\begin{pmatrix}t-a&-b\\-c&t-d\end{pmatrix},$$

行列式 $(t-a)(t-d)-bc$ 是标量多项式 $t^2-(a+d)t+(ad-bc)$。代入之后是 $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I$，四个位置都是零。有人把 $t$ 直接写成 $A$，在行列式括号里得到 $A-A$，再算出 $\det 0=0$。这一行只有一个数。它没有产生那四个零，也没有用到 $a,b,c,d$ 所决定的系数。

特征值页把特征方程写成 $\det(A-\lambda I)=0$。与 $\det(tI-A)$ 相比，两者差一个符号 $(-1)^n$，根相同。符号差不把数零变成零矩阵。本页公式栏固定用 $\det(tI-A)$，以便首项是 $t^n$ 而不是 $(-1)^n t^n$。两种写法的根可以互相翻译。两种写法都不允许在行列式内部把标量位置换成矩阵。

1858 年写到了哪一步#

凯莱（Arthur Cayley）的论文是 “A Memoir on the Theory of Matrices”，刊于 Philosophical Transactions of the Royal Society of London 第 148 卷（1858），第 17–37 页，DOI 10.1098/rstl.1858.0002。刊头的 Received 是 1857 年 12 月 10 日收到，Read 是 1858 年 1 月 14 日在学会宣读。发表年跟着卷次，是 1858。收到日不是另一个发表年，宣读日也不是定理被形式证明的日期。

第 23 节里，他核对了三阶情形，并写道：“I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of the theorem in the general case of a matrix of any degree.” 译出来就是：他不认为有必要去做任意阶矩阵的形式证明。原文的 degree 指矩阵的阶。所以 1858 年这篇宣布了一般陈述，并验证了低阶，并没有给出任意阶的形式证明。三阶的核对是低阶的核算，不是一份写到一半、读者可以自行补全任意 $n$ 的形式证明。缺的不是三阶这一次核对本身。缺的是一个不把阶数停在 $3$ 的论证：先把行列式展开成标量系数，再把 $t^k$ 换成 $A^k$，而不是把 $t$ 塞进行列式。这一步要对每个正整数 $n$ 都成立。只再核对一个四阶例子，仍然是低阶核算，不是任意阶的形式证明。1858 年的文本在第 23 节停在这份劳动之前。

线性变换页把 1858 年的回忆录指到本页。回忆录定义了矩阵的运算，并宣布了这条定理。若把宣布写成已经证明，后半句就说重了。对照第 23 节，那个动词会把宣布和低阶核对说成任意阶的形式证明。要分开的是：一般陈述在，三阶核对在，任意阶的形式证明不在。

定理的传统名称里有哈密顿，是因为四元数情形更早挂在他名下。本页不追述那一情形的页码或讲座，也不把四元数演算当成方阵的一般证明。四元数是一个特殊的代数，不是全体 $n$ 阶方阵组成的那个代数。挂在名称上的较早情形，填不回 1858 年作者自己放下的那份形式证明。

先展开，再代入#

概念上的证明从伴随矩阵恒等式出发，不从 $\det 0$ 出发。对未定元 $t$，

$$\det(tI-A)\,I=(tI-A)\operatorname{adj}(tI-A).$$

左右两边都是元素为 $t$ 的多项式的方阵。左边是标量多项式 $p_A(t)$ 乘单位矩阵。右边的伴随矩阵是余子式的转置，每个元素的次数至多是 $n-1$，因此

$$\operatorname{adj}(tI-A)=B_{n-1}t^{n-1}+\cdots+B_1 t+B_0,$$

每个 $B_k$ 是不依赖 $t$ 的常数方阵。把右边乘开，得到 $t$ 的各次幂，每一幂前面是一个常数方阵。恒等式是说：两边同一次幂的系数方阵相等。这一步仍发生在标量未定元上。$t$ 与所有系数可交换，因为它是多项式环里的元，不是另一张待定的矩阵。

「先展开成 $t$ 的标量系数多项式，再把 $t$ 换成 $A$」指的是这件事。系数方阵已经对齐之后，把 $t^k$ 换成 $A^k$，常数项乘 $I$。约定是系数写在幂的左边，代入时 $A^k$ 放在系数的右边，也就是求和 $\sum M_k A^k$。左边因此成为 $p_A(A)$。同一套代入下，右边含有因子 $(A-A)$。这个因子是零矩阵。要它把整边收成零矩阵，还得先把各次幂的系数对齐。不能在对齐之前宣布证明已经结束。

矩阵乘法不交换。不能在乘积中途把 $t$ 换成 $A$，再指望 $(tI-A)$ 自动滑成可以随便搬家的 $(A-A)$。标量与 $A$ 可交换，所以先展开成标量系数、再把 $t^k$ 换成 $A^k$，才是从多项式环到矩阵的同态。合法的对齐是：先比较 $t$ 的各次幂。$t^n$ 的系数给出 $B_{n-1}=I$。中间各次把 $B_{k-1}-AB_k$ 写成标量 $c_k$ 乘 $I$。常数项给出 $-AB_0=c_0 I$。再把第 $k$ 个系数等式从左边乘上 $A^k$，全部加起来。含 $B_k$ 的项两两抵消，剩下的就是 $p_A(A)=0$。抵消说明零矩阵从哪里来。它不是一段可以照着循环去算数值的规程，也不把行列式的定义拆成程序。

矩阵环的单位是 $I$，不是数 $1$。常数多项式 $c_0$ 送进矩阵必须写成 $c_0 I$，否则等式两边的类型对不上。恒等式两边都能乘，$(tI-A)\operatorname{adj}(tI-A)$ 与 $\operatorname{adj}(tI-A)\,(tI-A)$ 都等于 $p_A(t)I$。本页把 $(tI-A)$ 放在左边，是为了和系数等式里已经写在左边的 $A$ 同一侧。从这些等式可以读出每个 $B_k$ 都是 $A$ 的多项式，因而与 $A$ 可交换。那是对齐之后的结论，不是把 $t$ 塞进行列式的许可证。

「在行列式内部把 $t$ 换成 $A$」是另一件事。行列式吃的是标量排成的表，吐出来的是一个标量。$t$ 换成 $A$ 之后，$tI-A$ 变成零矩阵，$\det 0$ 是数零。特征多项式在这一步已经不再是多项式，幂没有被代入，常数项也没有乘上 $I$。所以 $\det(A-A)=0$ 既不是定理的陈述，也推不出 $p_A(A)$ 那张零矩阵。

另一条弯路是先写逆。$(tI-A)^{-1}=\operatorname{adj}(tI-A)/p_A(t)$ 只在 $p_A(t)\neq 0$ 的标量 $t$ 上成立。特征值正好是使这张表不可逆的地方，除法在那里没有定义。凯莱-哈密顿用的是没有做除法的多项式恒等式，在这些根上仍然成立。把逆矩阵公式里的 $t$ 换成 $A$，同时撞上两件不合法的事：标量位置被换成了矩阵，而且除数变成零。

二阶可以把伴随矩阵写开，用来对照，而不是用来代替一般阶的理由。$tI-A=\begin{pmatrix}t-a&-b\\-c&t-d\end{pmatrix}$ 的伴随是 $\begin{pmatrix}t-d&b\\c&t-a\end{pmatrix}$。两者相乘得到 $((t-a)(t-d)-bc)I$。这个标量先收成 $t^2-(a+d)t+(ad-bc)$，再换成 $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I$。二阶把标量多项式写全了，看见的是系数，不是把 $A$ 塞进括号。任意阶同样先按 $t$ 的幂对齐，再做矩阵幂的代入。

算子只是换了一套说法#

域上的有限维线性算子与方阵是同一件事的两种说法。设 $V$ 是域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间，$T$ 是 $V$ 到自身的线性映射。选定基之后，$T$ 对应一张 $n$ 阶矩阵 $A$。换基得到 $P^{-1}AP$。因为

$$\det(tI-P^{-1}AP)=\det(P^{-1}(tI-A)P)=\det(tI-A),$$

特征多项式不依赖基。$p_A(A)=0$ 换回算子语言，就是 $p(T)=0$，零算子。矩阵形式是坐标之后的复述，不是另一条定理。基怎样选，不改变「这张多项式把算子送到零」。相似也把矩阵方程一起搬走。若 $B=P^{-1}AP$ 并且 $p_A(A)=0$，则 $p_A(B)=P^{-1}p_A(A)P=0$，因为 $B^k=P^{-1}A^k P$，而单位矩阵满足 $I=P^{-1}IP$。同一张标量多项式在整个相似类上要么都得到零矩阵，要么一张也得不到。这并不把相似类里的矩阵变成对角矩阵。换基之后多项式关系还在，矩阵却可以仍然不可对角化。

没有有限的 $n$，就没有次数为 $n$ 的这张特征多项式。无限维空间上的谱是另一套语言，本页不跟着走。行列式与伴随矩阵恒等式在交换环上的方阵仍有意义，因为环的乘法可交换，行列式展开不必为因子的左右次序另立规矩。本页停在交换环或域上的方阵，不写矩形，也不构造模上的反例。

Sheldon Axler 的 Linear Algebra Done Right 第三版（Springer，2015）用有限维向量空间上的算子来写，讨论特征多项式把算子湮灭。那是算子语言，不是把本页的伴随矩阵恒等式再讲一遍。不同印本的页码对不齐，他的定理编号这里也不引用。编号不是 1858 年那篇有没有形式证明的证据。

它不读出大小，也不做谱#

定理不给出特征值的大小。$p_A(A)=0$ 是矩阵方程。根的模有多大、落在哪个圆盘里、瑞利商取到哪一个极值，都要另做估计。那些估计即使成立，也不改写零矩阵这句结论。没有实根的时候，大小更无从读起，多项式关系却可以仍在。

平面上转直角就是这样。矩阵 $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 满足 $R^{\mathsf{T}}=-R$，不是实对称。$\det(tI-R)=t^2+1$，在实数里没有根，因此没有实特征向量。可是 $R^2=-I$，所以 $R^2+I=0$，凯莱-哈密顿在实数上已经成立。把同一张矩阵放到复数上，根是 $\pm i$，模长是 $1$，而且可以对角化。模长是解方程之后才看见的，不是 $R^2+I=0$ 这句本身。谱定理的实对称版本从 $A=A^{\mathsf{T}}$ 出发，给出正交矩阵和对角矩阵。直角旋转没有这个前提。谱定理不成立，凯莱-哈密顿成立。两句不能互相借用。

剪切说明另一端：有实特征值，仍然可以不可对角化。$S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$S-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$(S-I)^2=0$。特征多项式是 $(t-1)^2$，定理成立。特征值只有 $1$，代数重数是 $2$，独立的特征向量只有一条。$S$ 也不对称。谱定理要求实对称、厄米或自伴，才能做正交或酉的对角化。一般自伴还可以走到谱测度。这些前提凯莱-哈密顿都不要。它对一般方阵成立，包括不可对角化的情形。

单位矩阵 $I_2$ 与这张剪切有同一张特征多项式 $(t-1)^2$，因此都被这张多项式送到零。$I_2$ 可对角化，剪切不能。凯莱-哈密顿看见的是同一条多项式关系，看不见这个差别。谱定理要的正交主轴，也不能从「多项式把矩阵送到零」里自动长出来。

低次幂张成高次幂#

因为 $p_A(A)=0$，而且首项是 $A^n$，所以

$$A^n=-c_{n-1}A^{n-1}-\cdots-c_1 A-c_0 I.$$

$A^n$ 是 $I,A,\ldots,A^{n-1}$ 的标量线性组合。这是代数结论。本页不把它写成先算系数、再循环降幂的数值步骤，也不讨论乘方要做多少次乘法才划算。

在域上，极小多项式是把矩阵送到零的那些首一多项式里次数最低的一个。多项式环里可以做带余除法，而且把 $t$ 送到 $A$ 是从标量多项式到矩阵的环同态，因为标量与 $A$ 可交换。因此极小多项式整除每一个湮灭多项式。既然 $p_A(A)=0$，极小多项式整除 $p_A$。次数至多是 $n$。整除用域上的语言来说。交换环上本页只坚持 $p_A(A)$ 是零矩阵，不另造一套极小多项式。

只靠向量空间的维数，得不出这个次数。$n$ 阶矩阵组成 $n^2$ 维空间，于是 $I,A,\ldots,A^{n^2}$ 这 $n^2+1$ 个元素必定线性相关，所以存在某个次数至多 $n^2$ 的非零多项式把 $A$ 送到零。那只保证极小多项式的次数不超过 $n^2$。凯莱-哈密顿把次数收到 $n$，并指出特征多项式就是一张这样的多项式。$n$ 与 $n^2$ 不是同一个界。把维数相关性当成定理本身，会把界放宽到失去内容。

整除也不是若尔当分类。代数闭域上，方阵相似于若尔当形。块的尺寸怎样分配，特征多项式只知道每个特征值的代数重数，也就是块的尺寸之和。最大的块有多大，要看极小多项式里该因子的指数。其余的分法，两张多项式都不管。剪切与 $I_2$ 共享 $(t-1)^2$，极小多项式却一个是 $(t-1)^2$，一个是 $t-1$。凯莱-哈密顿只负责 $p_A(A)=0$，从而负责极小多项式整除 $p_A$。它不负责这次整除之外的全部若尔当分类。

直角旋转再看一次极小多项式，以免重根变成唯一画面。在实数上，$t^2+1$ 既是特征多项式也是极小多项式，它没有实根，矩阵仍被它送到零。分类若尔当块需要代数闭域上的分裂。定理不依赖这次分裂。实系数方阵可以没有实特征值，多项式关系照样在。

跨域连接#

• 特征值：特征值页用特征方程求缩放倍数，再用核去找打不歪的方向。代数重数大于几何重数时，方向就不够，对角化停住。本页的 $\det(tI-A)$ 与那一页的 $\det(A-\lambda I)$ 只差符号 $(-1)^n$，根相同，但 $p_A(A)=0$ 不提供那些方向，也不提供圆盘或瑞利商。剪切的特征值是 $1$，定理只再告诉你 $(S-I)^2$ 是零矩阵。$1$ 有多大，不是这句的内容。
• 线性变换：变换页把 1858 年的论文指到本页。回忆录定义了矩阵运算，并宣布了这条定理。对照第 23 节，任意阶并未形式地证完。一般陈述在，三阶核对在，任意阶的形式证明作者写明不做。有限维里，选定基之后算子仍对应方阵，特征多项式不依赖基。要改口的是证明的历史，不是算子与矩阵可以互相转写。
• 矩阵与行列式：矩阵页把这条定理写成方阵满足自己的特征多项式。行列式在这里只负责对标量未定元 $t$ 产生多项式。矩形表没有同阶单位矩阵，减法和这个行列式都没有定义。初等变换、秩和零矩阵结论回答的是三件不同的事。把它们并成一种矩阵技巧，列操作就会被误读成多项式代入。
• 线性代数：总览把秩-零化度、谱定理、奇异值分解和凯莱-哈密顿放在同一张清单上，并把 1858 年的回忆录指到本页。清单是目录。谱定理要对称或自伴。奇异值分解容许矩形。秩-零化度问核与像如何分掉定义域的维数。本页只守方阵上的多项式关系，不把「证明了」提前到形式证明尚未写出的那一篇。
• 秩-零化度定理：秩-零化度把核维数与像维数相加，和等于定义域维数。对方阵，这个和是阶数，也就是列数。凯莱-哈密顿不问这个和。剪切里 $S-I$ 的核维数是 $1$，像维数是 $1$，和是 $2$，那是秩-零化度。$(S-I)^2=0$ 才是本页。两条都可以成立，矩形矩阵还能只用前一条。维数账补不出零矩阵。
• 谱定理：谱定理从实对称出发，用正交矩阵对角化。厄米换成酉矩阵，一般自伴可以走到谱测度。直角旋转满足 $R^2+I=0$，却不是实对称，实谱定理用不上。剪切满足 $(S-I)^2=0$，仍不可对角化。凯莱-哈密顿对一般方阵成立，包括这些情形。它不从零矩阵结论里变出正交主轴。

参考文献#

• Cayley, Arthur. “A Memoir on the Theory of Matrices.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148 (1858): 17–37. DOI 10.1098/rstl.1858.0002. Received 1857-12-10, read 1858-01-14。第 23 节写明未做任意阶的形式证明。
• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 3rd ed. Springer, 2015. 第三版用有限维向量空间上的算子语言讨论特征多项式湮灭算子。本页不写定理编号，也不写页码。