谱定理

四个版本#

有限维实对称#

有限维实对称矩阵的特征值都是实数，并且存在正交的 $Q$ 与对角的 $\Lambda$，使上面的等式成立。正交就是 $Q^{\mathsf{T}}Q=I$，所以 $Q^{\mathsf{T}}$ 就是逆。几何上先用 $Q^{\mathsf{T}}$ 转到主轴，$\Lambda$ 沿这些轴缩放，再用 $Q$ 转回来。线性代数页把奇异值分解写成先对齐、再伸缩、再转到像空间。实对称是更窄的一款：两套正交标架可以选成同一套，「转过去、沿轴缩放、转回来」就是这条等式本身。不是每张实矩阵都走这条路。

这一款有一段不能焊成一个人的来历。欧拉讨论刚体转动的主轴，那是惯性张量里打不歪的方向。拉格朗日在1773年化简二次型时，实质上碰到对称矩阵的特征值。柯西（Augustin-Louis Cauchy）在1829年证明，实对称矩阵的特征值都是实数。本站特征值页把这一步称为谱定理的第一个版本。第一个版本说的是谱落在实数里。不要把它改写成正交对角化从1829年才由柯西一个人完成，也不要把欧拉或拉格朗日写成公式栏的署名。

正交换元还说明这条等式在二次型上做什么。令 $x=Qy$，则 $x^{\mathsf{T}}Ax$ 变成 $y^{\mathsf{T}}\Lambda y$，交叉项消失，只剩下各个 $\lambda_i y_i^2$。主轴互相正交，换完坐标之后，各个方向的缩放不再互相掺和。这就是拉格朗日在1773年化简二次型时实质上碰到的结构，在有限维里可以写成公式栏的等式。化掉的是对称双线性型的交叉项，不是任意矩阵的若尔当块，也不是复根的存在。

有限维复厄米#

有限维复厄米矩阵满足 $A^*=A$，星号是共轭转置。存在酉矩阵 $U$，使 $A=U\Lambda U^*$，对角元仍然是实数。酉矩阵满足 $U^*U=I$，在复内积下保住长度。特征值是实数，这一点和实对称相同。用来对角化的是酉矩阵，不是只含实数的正交矩阵。实对称可以看成标量限制在实数上的特例，可是公式栏只写了转置，没有写共轭。把厄米情形偷换成 $Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$，等于把标量域也偷偷换掉。

厄米这个词来自赫尔米特（Charles Hermite）的姓。姓氏只解释形容词从哪里来，并不把整条谱定理归给他。本页也不给厄米矩阵单编一个发明年。把1829年挪到复矩阵上，或者另造一个年份来填这处空白，都是把词源当成证明记录。厄米这一款要单独说：实谱还在，对角化的矩阵换成酉矩阵。

酉对角化仍然只是有限维的存在性。它不负责把 $U$ 乘出来要多少步，也不把厄米说成一切复矩阵。没有 $A^*=A$ 时，特征值可以离开实数，本征向量也可以不正交。厄米条件同时管住这两件事：谱回到实数，而且能选一组在复内积下标准正交的基。这和实对称是平行的两句话，不是同一条公式换个字母。

紧自伴算子#

紧自伴算子是希尔伯特那条线的一个合理终点，不是一切有界算子。在无穷维希尔伯特空间上，紧而且自伴的算子仍有离散的实特征值，并可以取出一组标准正交的本征向量，样子接近有限维：谱像一列实数，空间可以由这些方向正交地拼起来。本站特征值页把1904年记在希尔伯特名下，说的是他在积分方程里把有限维特征值推广到无穷维。那一年标的是这次推广，不是后来称为紧算子的那个条件在1904年被定义完毕。

紧比有界更窄。紧蕴涵有界，有界不必紧，一般的有界自伴算子不必有这样一套离散的本征基。把紧算子说成一切有界算子，就会把只在紧的前提下才回来的正交清单，许给并不拥有它的对象。1904年也不是这条清单的唯一年份。它只标记积分方程那一步，和1829年的矩阵不是同一个对象。

接近有限维，指的是本征向量仍能标准正交地张成空间，特征值仍是离散的实数。零可以是这列实数的聚点，那是无穷维才冒出来的细节，并不取消「仍有一组可归一化的本征向量」。一旦算子只是有界而不紧，这张图就可以没有。紧是额外前提，不能从「算子有界」或「空间是希尔伯特空间」里自动读出来。

一般自伴算子#

一般的自伴算子可以无界。分解不再写成一列可归一化的本征向量，而写成谱测度。记号是 $\int \lambda \, dE(\lambda)$。这里的 $\lambda$ 仍是谱上的实数，$E$ 是随着这些实数累加的一族投影。积分是在说：按谱把空间切开，每一块乘上自己的 $\lambda$，再拼回原来的算子。它不是在颁发长度为一的本征函数，让人把它们排成基。本页不写这族投影如何造出来。

谱可以连续。连续谱没有可归一化的本征向量。位置算子是本站泛函分析页已经举过的例子：它的所谓本征函数不是平方可积函数，只有放进积分里、和真正属于空间的向量配对时才有意义。本站把1929年记在冯·诺依曼名下，指他把谱理论用于量子力学中的自伴算子。对象已经不是矩阵，也不是紧算子的离散清单。1829年、1904年、1929年是三步，不是一个年份的三种叫法。

积分之所以不是一张本征值列表，是因为连续谱上没有可数的清单可供逐项相加。投影 $E$ 回答的是：谱落在一段实数里的那部分空间是哪一块。把对应的 $\lambda$ 乘上去再累加，得到的是算子本身，不是一组可以单独拿出来归一化的函数。位置算子的谱可以铺在整条实线上。测量结果可以落进一段区间，却仍然没有一个平方可积的本征函数。这和紧自伴的离散清单是两种谱，不能写成同一句话。

旋转与若尔当形#

特征值页用平面旋转作反例，原因可以写具体。转角不是半圈的整数倍时，每个非零实向量都被转离原来的直线，没有打不歪的实方向。特征多项式的根是一对共轭复数。不变的是整张平面，不是一条实直线。所以「每个实矩阵都能正交对角化」是假的。实对称才把谱拉回实数，并给出正交的主轴。旋转可以仍是实矩阵，甚至保住长度，这都不够。缺的是转置等于自己。没有这一条，谱不必留在实数上。这组共轭复根就是例子，不是一切非对称矩阵的必然谱。

不能对角化时，另有若尔当标准形，不是谱定理的正交主轴。块比一乘一大时，超对角线上的一记下广义特征向量的链：这个方向被送到同一特征值的上一个方向，而不是单独缩放。正交对角化比「有特征值」更强，因为它还要一组正交的本征基。它也比若尔当形更窄。在代数闭域上，每个方阵都相似于若尔当形。正交对角化只对对称、厄米以及后面那些自伴对象成立。卡米尔·若尔当1870年的《置换与代数方程论》已在特征值页记过：那本书把有限维线性变换在相似下的标准形写下来。本页沿用这一句，不编页码。

必须拆开的误解#

第一条是把它说成「特征多项式有根」。那是代数基本定理加在特征多项式上。非常数复多项式有复根，按重数计，根的个数等于次数，所以特征多项式在复数里有根。根可以是复的，对应的向量可以不正交。重数不够时，向量还张不成全空间。代数基本定理不保证正交的本征向量基，也不把根拉回实数。谱定理要的对称或自伴，是这一定理不提供的前提。

第二条是以为谱定理对所有矩阵成立。平面旋转已经否证。没有实的本征方向，就没有实的正交对角化。有特征值也不够：剪切可以只有一个实特征值，几何重数却补不满，矩阵不能对角化。谱定理比「矩阵是方的」窄得多。公式栏里的箭头从 $A=A^{\mathsf{T}}$ 出发，前提写在箭头左边，不能读成对一切方阵有效。

第三条是以为无穷维里仍然总有一组可归一化的本征向量。紧自伴看起来像有限维，一般自伴不必紧，谱可以连续。连续谱否证「总能归一化」。位置算子没有平方可积的本征函数基。把有限维的正交清单原样搬进一切算子，写出来的向量会根本不属于那个空间。

第四条是指定唯一的证明人与唯一年份。1829年是实对称矩阵的特征值都是实数，本站称之为第一个版本。1904年是积分方程里走向无穷维谱。1929年是自伴算子进入量子力学。欧拉的主轴和拉格朗日1773年的二次型还在更前面，而且都不是公式栏的署名。四条数学陈述不能收成柯西、希尔伯特或冯·诺依曼一个人的一条定理。

第五条要拆开的，是把它当成诺特定理：那一篇讲对称与守恒，不是谱分解，本页到此为止。

它保证什么，不保证什么#

它保证的是前提各自写明之后的分解，而且都是存在性。实对称矩阵有实特征值，并且 $A=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$。厄米矩阵有实特征值，并且可以被酉矩阵对角化。紧自伴算子有离散的实特征值，以及一组标准正交的本征向量。一般自伴算子，包括可以无界的那些，有谱测度意义下的分解，谱可以连续，写法是 $\int \lambda \, dE(\lambda)$。存在这样的标架、本征向量或谱测度，不等于交出一套能执行的手续。

四条保证也不能互相借用前提。实正交的对角化对不上元素为复数的厄米矩阵，实对称只是标量落在实数里的特例。紧自伴的离散本征基不能许给连续谱。谱测度的积分也不能倒过来说成每个实数都对应一个波函数。对象一换，结论就换。因此1829年的实特征值、1904年的积分方程、1929年的自伴算子必须分开记，不能借一条去填另一条。

它不保证非对称矩阵也能正交对角化，旋转已经说明。它不保证连续谱还有波函数形式的本征态，位置算子就是这个缺口。它不给出数值算法的步数，存在性里读不出迭代要跑多久。它不代替若尔当形：不能对角化时仍有块，正交主轴补不上这个空缺。它也不代替代数基本定理。多项式有复根是一件事，对称或自伴带来的实谱和正交分解是另一件事。

跨域连接#

• 特征值：特征值页把特征多项式的根和打不歪的方向拆开。根可以算完，方向仍可能不够，也不必正交。本页的实对称版本同时要实数谱和正交主轴。二维旋转在那一页已经是反例：不变的是一张平面，不是一条实直线。1829年被那一页称为谱定理的第一个版本，指的是实对称矩阵的特征值都是实数，不是每个矩阵都能正交对角化。剪切则说明，有实特征值仍可能缺少足够的独立方向。
• 线性变换：线性变换页把谱定理写成实对称或复厄米可以正交对角化，沿本征方向只做伸缩、不做扭转。$A=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$ 就是先换到主轴、沿轴缩放、再换回来。同一页把若尔当形留作不能对角化时的分类。正交对角化比有特征值更强，覆盖的矩阵也更窄。变换本身不随基改变，矩阵只是选定基之后的表。谱分解选的是一套特别的基，不是给每张表都许一张对角表。
• 矩阵：矩阵页用类型区分光谱。对称与厄米把特征值拉回实数。正规矩阵在有限维里可以酉对角化，那一页称之为谱定理的自然家园。酉对角化用的是复数标量下的标准正交基，不是「凡正规即可在实轴上正交对角化」。平面旋转是实正交矩阵，因而正规。转角不是半圈的整数倍时，特征根仍是共轭复数。有限维的类型表也代替不了紧自伴和一般自伴那两条。
• 向量空间：向量空间页写明，无穷维向量空间承载希尔伯特空间、自伴算子与谱定理。有限维里基的个数不随选择改变，正交本征向量可以当基。同一句推不出无穷维里仍有一组可归一化的本征向量：空间可以装下算子，连续谱仍可以没有平方可积的本征函数。那一页没有给这条推广编定理号，本页也不编。
• 泛函分析：泛函分析页把有限维的正交对角化与连续谱对照。连续谱下没有可归一化的本征向量，位置算子的所谓本征函数不是平方可积函数，只有放进积分里配对才有意义。$\int \lambda \, dE(\lambda)$ 是用投影把谱上的数加权拼回算子，不是颁发一组波函数基。紧算子接近有限维的离散图像，不能读成一切有界算子。1929年在这里接上的是自伴算子，不是把矩阵年份再写一遍。
• 希尔伯特：人物页把积分方程和无穷维二次型记在他名下，并写明希尔伯特空间这个名字和公理化是后人定型的，尤其是冯·诺依曼等人。他提供分析骨架。把态、可观测量和谱测度组装成物理语言，是后来的工作。1904年在本站特征值页上，是把有限维特征值推进到积分方程的那一步。把量子力学里的连续谱整套记到他一个人，会把他的分析工作说成唯一的证明人。
• 代数基本定理：代数基本定理保证非常数复系数多项式有复数根，按重数计，根的个数等于次数。特征多项式因此在复数里有根。这只给缩放倍数的候选，不给正交的本征向量基，也不把根拉回实数。谱定理要的对称或自伴是额外前提。有根而不正交、有根而方向不够，都仍然符合代数基本定理，却不符合本页任何一条谱分解。

参考文献#

1. 柯西，1829年，实对称矩阵的特征值为实数。本站特征值页已采用这一年份，并称之为谱定理的第一个版本。该页所记篇名是 Sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes。本页不另补期刊页码。
2. 希尔伯特，1904年，积分方程与无穷维谱。本站特征值页已采用这一年份。本页不编论文题目，也不编页码。
3. 冯·诺依曼，1929年，自伴算子与量子力学中的谱。本站特征值页已采用这一年份。本页不编页码。
4. 卡米尔·若尔当，《置换与代数方程论》，1870年。本站特征值页已记下这一书名与年份。本页不编页码。