秩-零化度定理

映射先于矩阵#

设 $V$ 与 $W$ 是同一域上的向量空间，$V$ 有限维，$T:V\to W$ 线性。核 $\ker T=\{v\in V:Tv=0\}$，像 $\operatorname{im} T=\{Tv:v\in V\}$。秩是像的维数，零化度是核的维数。定理说

$$\dim\ker T+\dim\operatorname{im} T=\dim V.$$

$W$ 不必等于 $V$，也不必有限维。右边是定义域的维数，不是到达空间的维数。把 $\dim W$ 写进等式，是把行数错当成列数的映射版。$W$ 可以比 $V$ 大，像仍然装不满 $W$。$W$ 也可以比 $V$ 小，像的维数仍然不会超过 $\dim V$，因为等式左边第二项不会比右边大。

矩阵是这条映射在选定基下的坐标。设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，它表示 $F^n\to F^m$ 的线性映射。定义域维数是 $n$，也就是列数。于是

$$\operatorname{rank} A+\operatorname{nullity} A=n.$$

$n$ 是列数。$m$ 是行数，不出现在这个和里。行数约束的是像能有多「高」，不是这个和等于多少。一个 $2\times 3$ 矩阵的秩至多是 $2$，零化度就至少是 $1$，两者之和仍是 $3$。一个 $5\times 2$ 矩阵的秩至多是 $2$，零化度可以是 $0$，和仍是 $2$。先数行、再希望和等于行数，会把瘦矩阵和高矩阵的账做反。

基怎样把维数加出来#

证明不构造一个算秩的数值程序。它只说明维数为什么相加。

取 $\ker T$ 的一组基 $u_1,\ldots,u_k$。它有 $k=\dim\ker T$ 个向量。把这组基扩充成 $V$ 的一组基 $u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_r$。扩充总可以完成，因为 $V$ 有限维，核是子空间。此时 $\dim V=k+r$。要证的只剩 $\dim\operatorname{im} T=r$。

看 $Tv_1,\ldots,Tv_r$。它们张成像：任意 $v\in V$ 可以写成核基与这 $r$ 个向量的线性组合，$T$ 吃掉核基的那一段，只留下 $Tv_j$ 的组合。它们还线性无关。若 $a_1 Tv_1+\cdots+a_r Tv_r=0$，则 $a_1 v_1+\cdots+a_r v_r$ 落在核里，于是能写成 $u_i$ 的组合。移项之后，一整组 $V$ 的基系数全是零，所以每个 $a_j=0$。因此 $Tv_1,\ldots,Tv_r$ 是像的一组基，像的维数是 $r$。$k+r=\dim V$，就是公式栏那一行。

这个论证用了两次有限维：核有有限基，并且这组基能扩充成 $V$ 的有限基。没有这两步，维数的加法没有定义。所以页面只声称域上的有限维向量空间。不把同一条等式推广到任意模。模上「基」和「维数」本身就不再是这一套，反例的构造不属于本页。

可逆只是核消失的那一种#

方阵可逆，当且仅当核只有零向量。这是推论，不是定理本身。

设 $T:V\to V$，$\dim V=n$。若 $\ker T=\{0\}$，则 $\dim\ker T=0$，于是 $\dim\operatorname{im} T=n$。像是 $V$ 的 $n$ 维子空间，只能等于 $V$，所以 $T$ 既单又满，可逆。反过来，可逆映射把零只送到零，核是 $\{0\}$。对方阵，核平凡、列满秩、行满秩、行列式非零、特征值全非零，是同一件可逆性的几张面孔。秩-零化度只负责其中一张：核的维数与像的维数如何把 $n$ 分完。它不负责特征值是实数，也不负责存在正交矩阵把它对角化。那是 谱定理 的对象。一个有非平凡核的投影满足秩-零化度，它的特征值可以是 $0$ 和 $1$，它不可逆，也谈不上「秩等于行列式非零」。

投影把这句话说得具体。在平面上，把 $(x,y)$ 送到 $(x,0)$。核是竖轴，维数 $1$。像是横轴，维数 $1$。定义域维数 $2$。$1+1=2$。行列式是 $0$，映射不可逆。定理仍然成立。零映射更极端：像是 $\{0\}$，核是整个 $V$，两边都等于 $\dim V$。等式没有坏，它只是把全部维数放进了核。

多项式也用同一笔账，而且不靠矩阵元素。设 $P_n$ 是次数不超过 $n$ 的多项式，维数 $n+1$。求导 $D:P_n\to P_n$ 是线性的。核是常数，维数 $1$。像是次数不超过 $n-1$ 的多项式，维数 $n$。$1+n=n+1$。当 $n=2$ 时，定义域维数是 $3$，核维数 $1$，像维数 $2$。没有人需要先写出求导矩阵再数主元。矩阵形式是坐标之后的复述，不是定理的前提。

同一本多项式空间还可以换一条映射，以免读者以为等式只对求导成立。把 $p$ 送到它在零点的值，得到 $P_n\to F$ 的求值。像是一维的标量。核是常数项为零的那些多项式，少掉一个自由系数，维数是 $n$。两边相加仍是 $n+1$。恒等映射则把账推到另一端：核只有零，像等于整个定义域，零化度是 $0$，秩等于 $\dim V$。坐标投影 $F^4\to F^2$，把 $(a,b,c,d)$ 送到 $(a,b)$，像的维数是 $2$，核的维数是 $2$，和是 $4$。这个映射不是方阵之间的自同态，行列式没有定义。定理照样成立。可逆性和非零行列式只在后来碰到方阵时才出现。

方程里自由的是核#

齐次方程 $Ax=0$ 的解空间就是核。它的维数是零化度，也就是列数减去秩。非齐次方程 $Ax=b$ 先要问 $b$ 在不在像里。若在，任取一个特解，其余的解都是这个特解加上核里的向量，所以解集的「自由度」仍是零化度，不是行数。若 $b$ 不在像里，解集是空的。空不改变秩，也不改变零化度。增广之后秩升高，只说明这一次不相容。把无解读成零化度忽然变了，是把存在性写进了维数等式。等式只管核与像如何分掉定义域，不管某一个右手边有没有被击中。

主元个数与自由变量个数是这同一句话的消元读法。主元个数等于秩，自由变量个数等于零化度，两者相加回到未知数的个数，也就是列数。本页不把行化简写成可以照着做的步骤。它只说明：只要秩已经数对，自由变量就被列数减出来，不必再独立发明第二条守恒律。舍入会让主元看起来多一个或少一个。那时相加暂时对不上列数，是计算漂了，不是有限维线性映射出现了反例。

行数在这里仍然只约束像能有多高。一个三行五列的系数矩阵，秩至多是三，零化度至少是二，和仍是五。五个未知数、三个方程，不能从「方程比未知数少」直接推出有解。少方程只让像有机会装不满到达空间，相容还要看 $b$。把秩-零化度背成「未知数多于方程就一定有无穷多解」，漏掉了不相容，也漏掉了秩可以低于行数。

转置只是把定义域换边#

把定理用到 $A$ 的转置上，定义域的维数换成行数 $m$。于是 $\operatorname{rank} A^\top+\operatorname{nullity} A^\top=m$。若另外已经知道行秩等于列秩，左零空间的维数就是 $m$ 减去秩。行秩等于列秩是另一条定理。它说的是行空间与列空间维数相同，不是本页这条加法。本页不证明它，也不把行数写回原来关于 $A$ 的那条等式。关于 $A$，相加的仍是列数。关于 $A^\top$，相加的才是原来的行数，因为行数现在是定义域的维数。两边各用一次，不能合成「秩加上某个零化度等于行数加列数」。

左零空间里的向量是到达空间中被一切列都变成零的那些线性约束。它量的是「像还差多少才铺满 $W$」，在 $W$ 有限维时，这个差等于 $\dim W$ 减去秩。那是到达空间里的余维，不是定义域里的零化度。两个数可以相等，例如方阵亏秩的时候，但它们回答的不是同一个问题。一个问定义域里有多少方向被压成零，一个问到达空间里有多少方向没有被击中。秩-零化度直接给出前者。后者要再借用到达空间的维数，而且只在那个维数有限时才是普通的减法。

商映射是同一条等式#

设 $U$ 是有限维空间 $V$ 的子空间。商映射把 $v$ 送到陪集 $v+U$。它是线性的。核正好是 $U$，像是整个商空间。秩-零化度因此写成 $\dim U+\dim(V/U)=\dim V$。子空间的维数加上商的维数回到全空间，不是一条需要新假设的定理，而是本页的等式用在这一条映射上。陪集的相等是「相差一个 $U$ 里的向量」。映射把整个 $U$ 收成一个零，所以核的维数就是 $\dim U$。像铺满商空间，是因为每个陪集都有代表元。没有这两句，维数加法仍在，只是看不出它为什么叫商。

这也不给出一组具体的商基怎么写进坐标。它只保证维数账闭合。无限维空间仍可以谈子空间和商，但「维数相加」要换成基数，本页的等式不跟着走。模上更没有这一套有限维数。整数到自身、每个整数乘以二，核只有零，像是偶数，与定义域同构。硬把两边都叫成「一条」，加出来并不能回到定义域的那「一条」上做通常的整数加法。域上的维数在这里没有定义。所以页面停在域上的向量空间，不把等式推广到模，也不展开理想。

换基不改变这笔账。维数是子空间的性质，不是某一组坐标的性质。同一条线性映射，换一组基之后矩阵的数字会变，核与像的维数不变，和仍是定义域的维数。方阵的自同态换基是相似。一般的 $m\times n$ 矩阵换的是定义域与到达空间各自的基，表会变成另一张同样大小的表，秩不变。看见数字变了就说定理失效，是把坐标当成了映射。

补空间把像照回来#

证明里那组扩充出来的 $v_1,\ldots,v_r$，张成的是核的一个补空间。把 $T$ 限制到这个补空间上，核变成只有零，像仍是整个 $\operatorname{im} T$。于是补空间与像之间有一个线性同构：每个像向量恰有一个补空间里的原像。这就是维数相加的几何。定义域拆成核，以及一块和像一样大的补。两块只在零相交，合起来张成 $V$。补空间不是唯一的。换一组扩充，补就换了一块。核与像的维数不跟着换。所以定理说的是维数，不是某一块补被指定成标准答案。投影的横轴是竖轴的一个补，也可以改成任何不与竖轴重合的直线。像仍是横轴，维数仍是一加一等于二。

限制到任意子空间，等式仍可用，但右边换成那个子空间的维数。设 $U$ 含于 $V$，$T$ 在 $U$ 上的限制仍是线性映射。它的核是 $\ker T$ 与 $U$ 的交，它的像是 $T$ 作用在 $U$ 上的结果。于是交的维数加上这个像的维数，等于 $\dim U$。这不是一条需要另起炉灶的定理。它提醒：整个 $V$ 上的零化度，不能直接当成某个子空间上还剩多少自由度。子空间可能躲开核，也可能整个坐在核里。坐在核里时，限制的像是零，维数账变成子空间的维数加上零。躲开核时，限制可以是单射，像的维数就等于子空间的维数。两种情形都满足同一条等式，读数却完全不同。

未知数若先被限制在一个子空间里，例如要求某些坐标为零，自由度先被这个子空间的维数卡住，再被限制映射的核分掉。不要把全空间的零化度抄过来，当作约束之后仍剩下的自由变量。约束改变的是定义域。等式右边必须跟着改。这一句仍然不提供消元步骤，也不把约束写成可以照着解的题单。

它不提供的东西#

它不给出特征值。核的维数等于特征值 $0$ 的几何重数，只是在讨论 $T:V\to V$ 并且 $0$ 确实是特征值的时候。其他特征值不出现在这条等式里。谱定理还要求实对称或自伴，才能把空间拆成彼此正交的特征方向。秩-零化度对每一条线性映射都成立，包括旋转、包括不可对角化的若尔当块。平面旋转没有实特征向量，核在实数上是 $\{0\}$，像是整个平面，维数账 $0+2=2$ 仍然对。不要因为旋转没有实谱，就说秩-零化度失效。

它也不给出算某一张具体大矩阵之秩的稳定算法。行化简、主元计数、奇异值截断，是数值线性代数的另一门手艺。定理只保证：只要秩已经数对，零化度就被列数减出来，不必再独立数一遍自由变量来「验证宇宙」。数值上秩会因为舍入而漂。漂了的秩加上漂了的零化度，可以暂时不等于列数。那是计算，不是定理的反例。

Sheldon Axler 在 Linear Algebra Done Right 第三版里把同一条等式叫做线性映射的基本定理，编号 3.22：若 $T$ 是定义在 $V$ 上的线性映射，则 $\dim V=\dim\operatorname{null} T+\dim\operatorname{range} T$。他用 null 与 range，本站公式栏用 $\ker$ 与 $\operatorname{im}$。指的是同一对子空间。3.22 是一本教科书的编号，不是发现年份，也不是证明者的签名。不同印本的页码对不齐，所以这里不写页。编号只说明教科书把同一条等式放在哪一节。本页因此不设 mathematician，不设 year。

跨域连接#

• 线性代数：总览把秩-零化度、可逆判据和奇异值分解放在同一张清单上。本页只取清单里的维数加法。奇异值分解还要主轴和伸缩。可逆判据还要方阵。把三句话并成「秩的故事」，会把列数、特征值和非零行列式焊在一起。清单上的另外两句各自有页。读到伸缩或特征值时，不要留在维数加法里找谱。
• 线性变换：变换页讲一条映射如何作用在向量上。本页只问核与像如何瓜分定义域的维数。映射可以不满、可以不单，等式照样成立。不要从「线性」直接跳到「可逆」。
• 矩阵与行列式：矩阵是选定基之后的表。秩-零化度在表上变成列数等于秩加零化度。行列式是方阵的另一个函数。非零行列式推出秩等于阶数，那是推论碰到方阵时的特例，不是 $m\times n$ 的一般陈述。
• 向量空间：维数、基和扩充基都住在这页的语言里。没有有限基，本页的加法没有左右两边。无限维空间可以有核与像，但「维数相加」要换成基数语言，那不是本页的等式。
• 谱定理：谱定理问的是特征值和正交对角化，而且只对实对称、厄米或自伴这一类。秩-零化度不问谱，也不要求伴随。两页共享「线性映射把空间拆开」这个动词，拆开的依据不同。读到特征值时离开本页。

参考文献#

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 3rd ed. Springer, 2015. 作者在给教师的前言里把线性映射基本定理标为 3.22：$\dim V=\dim\operatorname{null} T+\dim\operatorname{range} T$。本页的公式栏用核与像，对象与 3.22 相同。这不是单篇原始论文的页码，本页也不指定发现者。